Номер 484, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 11. Умножение одночлена на многочлен. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 484, страница 85.

Условие.

484. Докажите, что выражение $7a^4(a+3) - a^3(21a + 7a^2 - 3a^5)$ принимает неотрицательные значения при всех значениях $a$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает неотрицательные значения при всех значениях $a$, мы упростим его. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $7a^4(a + 3) - a^3(21a + 7a^2 - 3a^5)$.

1. Раскроем первую скобку, умножив $7a^4$ на каждый член в скобках $(a + 3)$:
$7a^4(a + 3) = 7a^4 \cdot a + 7a^4 \cdot 3 = 7a^5 + 21a^4$.

2. Раскроем вторую скобку, умножив $-a^3$ на каждый член в скобках $(21a + 7a^2 - 3a^5)$:
$-a^3(21a + 7a^2 - 3a^5) = -a^3 \cdot 21a - a^3 \cdot 7a^2 - a^3 \cdot (-3a^5) = -21a^4 - 7a^5 + 3a^8$.

3. Теперь сложим результаты:
$(7a^5 + 21a^4) + (-21a^4 - 7a^5 + 3a^8) = 7a^5 + 21a^4 - 21a^4 - 7a^5 + 3a^8$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(7a^5 - 7a^5) + (21a^4 - 21a^4) + 3a^8 = 0 + 0 + 3a^8 = 3a^8$.

В результате упрощения мы получили выражение $3a^8$.
Рассмотрим это выражение. Переменная $a$ возводится в восьмую степень. Так как 8 — это четное число, то $a^8$ будет всегда больше или равно нулю ($a^8 \ge 0$) для любого действительного значения $a$.
При умножении неотрицательного значения ($a^8$) на положительное число (3), результат также будет неотрицательным: $3a^8 \ge 0$.
Таким образом, мы доказали, что исходное выражение, равное $3a^8$, принимает неотрицательные значения при всех значениях $a$.

Ответ: Утверждение доказано, так как выражение $7a^4(a + 3) - a^3(21a + 7a^2 - 3a^5)$ тождественно равно $3a^8$, а $3a^8 \ge 0$ для любого значения $a$.