Номер 334, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 334, страница 59.

Условие.

334. Докажите, что значение выражения:

1) $17^8 + 19$ делится нацело на 10;

2) $64^{64} - 1$ делится нацело на 5;

3) $3^{4n} + 14$, где $n$ – натуральное число, делится нацело на 5.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что значение выражения делится на 10, достаточно показать, что его последняя цифра равна 0. Для этого найдем последнюю цифру каждого слагаемого.

Последняя цифра значения степени зависит только от последней цифры основания. Поэтому последняя цифра числа $17^8$ такая же, как у числа $7^8$.

Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 7:
$7^1$ оканчивается на 7;
$7^2 = 49$ оканчивается на 9;
$7^3 = 343$ оканчивается на 3;
$7^4 = 2401$ оканчивается на 1;
$7^5 = 16807$ оканчивается на 7.
Последовательность последних цифр (7, 9, 3, 1) циклична с периодом 4.

Чтобы найти последнюю цифру $7^8$, нужно определить, на каком месте в цикле она находится. Для этого разделим показатель степени 8 на длину цикла 4: $8 \div 4 = 2$ (остаток 0). Остаток 0 означает, что последняя цифра совпадает с последней цифрой в цикле, то есть с цифрой 1. Таким образом, $17^8$ оканчивается на 1.

Число 19 оканчивается на 9. Следовательно, сумма $17^8 + 19$ оканчивается на ту же цифру, что и сумма $1 + 9 = 10$, то есть на 0. Поскольку последняя цифра значения выражения равна 0, оно делится на 10 нацело.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения делится на 5, достаточно показать, что его последняя цифра равна 0 или 5.

Найдем последнюю цифру числа $64^{64}$. Она совпадает с последней цифрой числа $4^{64}$.

Рассмотрим последние цифры степеней числа 4:
$4^1$ оканчивается на 4;
$4^2 = 16$ оканчивается на 6;
$4^3 = 64$ оканчивается на 4.
Последние цифры циклически чередуются (4, 6). Если показатель степени нечетный, последняя цифра — 4, если четный — 6.

Поскольку показатель степени 64 — четное число, то число $64^{64}$ оканчивается на 6.

Тогда значение выражения $64^{64} - 1$ оканчивается на ту же цифру, что и разность $6 - 1 = 5$. Поскольку последняя цифра значения выражения равна 5, оно делится на 5 нацело.
Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что выражение $3^{4n} + 14$ делится на 5 при любом натуральном $n$, найдем последнюю цифру его значения.

Преобразуем выражение, используя свойство степеней: $3^{4n} = (3^4)^n$.

Вычислим значение $3^4$: $3^4 = 81$. Тогда выражение принимает вид: $81^n + 14$.

Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также будет оканчиваться на 1. Следовательно, при любом натуральном $n$ число $81^n$ оканчивается на 1.

Число 14 оканчивается на 4.

Следовательно, сумма $81^n + 14$ оканчивается на ту же цифру, что и сумма $1 + 4 = 5$. Поскольку последняя цифра значения выражения равна 5, оно делится на 5 нацело при любом натуральном значении $n$.
Ответ: Доказано.