Номер 328, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 328, страница 59.

Условие.

328. Решите уравнение:

1) $x^7 = 6^{14}$,

2) $x^4 = 5^{12}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Дано уравнение $x^7 = 6^{14}$.

Чтобы решить это уравнение, необходимо привести правую часть к степени с таким же показателем, как и у левой части, то есть к 7. Воспользуемся свойством степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Представим показатель степени 14 как произведение $2 \cdot 7$:

$6^{14} = 6^{2 \cdot 7} = (6^2)^7$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$6^2 = 36$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$x^7 = 36^7$

Поскольку показатели степени (7) в обеих частях уравнения равны и являются нечетным числом, то основания степеней также должны быть равны.

$x = 36$

Ответ: $36$.

2)

Дано уравнение $x^4 = 5^{12}$.

Аналогично первому пункту, приведем правую часть уравнения к степени с показателем 4.

Представим показатель 12 как произведение $3 \cdot 4$:

$5^{12} = 5^{3 \cdot 4} = (5^3)^4$

Вычислим значение $5^3$:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Теперь уравнение принимает вид:

$x^4 = 125^4$

В этом случае показатель степени (4) является четным числом. Для уравнения вида $a^{2k} = b^{2k}$ (где $b > 0$) решениями являются $a = b$ и $a = -b$. Это связано с тем, что любое число, возведенное в четную степень, дает положительный результат. Например, $(-125)^4 = 125^4$.

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 125$

$x_2 = -125$

Ответ: $\pm 125$.