Номер 321, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 321, страница 58.

Условие.

321. Вычислите значение выражения:

1) $(1\frac{1}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10}$;

2) $5^{14} \cdot 0,2^{12}$;

3) $(-1\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(1\frac{1}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10}$

Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

$(\frac{7}{6})^9 \cdot (\frac{6}{7})^{10}$

Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$. Применим его к первому множителю:

$(\frac{7}{6})^9 = (\frac{6}{7})^{-9}$

Выражение принимает вид:

$(\frac{6}{7})^{-9} \cdot (\frac{6}{7})^{10}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(\frac{6}{7})^{-9 + 10} = (\frac{6}{7})^1 = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

2) $5^{14} \cdot 0,2^{12}$

Преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$5^{14} \cdot (\frac{1}{5})^{12}$

Используем свойство степени $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$:

$(\frac{1}{5})^{12} = 5^{-12}$

Теперь выражение выглядит так:

$5^{14} \cdot 5^{-12}$

По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) складываем показатели:

$5^{14 + (-12)} = 5^{14 - 12} = 5^2$

Вычисляем результат:

$5^2 = 25$

Ответ: $25$.

3) $(-1\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$

Преобразуем смешанную дробь $-1\frac{1}{3}$ в неправильную:

$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$

Подставим полученное значение в выражение:

$(-\frac{4}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$

Так как отрицательное число возводится в нечетную степень (5), результат будет отрицательным. Мы можем вынести знак минуса за скобки:

$-(\frac{4}{3})^5 \cdot (\frac{3}{4})^8$

Воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$, чтобы привести дроби к одному основанию:

$(\frac{4}{3})^5 = (\frac{3}{4})^{-5}$

Подставим это в выражение:

$-(\frac{3}{4})^{-5} \cdot (\frac{3}{4})^8$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$-(\frac{3}{4})^{-5+8} = -(\frac{3}{4})^3$

Возводим дробь в куб:

$-(\frac{3^3}{4^3}) = -(\frac{27}{64})$

Ответ: $-\frac{27}{64}$.