Номер 317, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 317, страница 58.

Условие.

317. Представьте в виде степени с основанием $-5$ выражение:

1) $625^5$,

2) $((-25)^2)^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $625^5$ в виде степени с основанием $-5$, нам нужно выполнить несколько преобразований.
Сначала представим число $625$ как степень числа $5$.
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$
Таким образом, $625 = 5^4$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$625^5 = (5^4)^5$.
Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(5^4)^5 = 5^{4 \cdot 5} = 5^{20}$.
Нам необходимо получить основание $-5$. Поскольку показатель степени $20$ является четным числом, мы можем изменить знак основания без изменения значения выражения, так как любое число (положительное или отрицательное), возведенное в четную степень, дает положительный результат.
То есть, $a^{2k} = (-a)^{2k}$, где $2k$ — четное число.
В нашем случае $2k=20$, поэтому:
$5^{20} = (-5)^{20}$.
Ответ: $(-5)^{20}$.

2) Чтобы представить выражение $((-25)^2)^3$ в виде степени с основанием $-5$, начнем с упрощения данного выражения.
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((-25)^2)^3 = (-25)^{2 \cdot 3} = (-25)^6$.
Поскольку показатель степени $6$ — четное число, результат возведения будет положительным. Это значит, что мы можем убрать знак минус у основания:
$(-25)^6 = 25^6$.
Теперь представим основание $25$ как степень числа $-5$:
$25 = (-5) \cdot (-5) = (-5)^2$.
Подставим это в выражение $25^6$:
$25^6 = ((-5)^2)^6$.
И снова используем свойство возведения степени в степень:
$((-5)^2)^6 = (-5)^{2 \cdot 6} = (-5)^{12}$.
Ответ: $(-5)^{12}$.