Номер 312, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 312, страница 58.

Условие.

312. Докажите, что если сторону квадрата увеличить в $n$ раз, то его площадь увеличится в $n^2$ раз.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства введем обозначения. Пусть $a$ — первоначальная длина стороны квадрата.

Площадь исходного квадрата $S_1$ вычисляется по формуле:
$S_1 = a^2$

По условию, сторону квадрата увеличили в $n$ раз. Новая длина стороны, обозначим её $a_{новая}$, будет равна:
$a_{новая} = n \cdot a$

Теперь найдем площадь нового квадрата $S_2$ с новой стороной $a_{новая}$:
$S_2 = (a_{новая})^2 = (n \cdot a)^2 = n^2 \cdot a^2$

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади $S_2$ к исходной площади $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{n^2 \cdot a^2}{a^2}$

Сокращая $a^2$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{S_2}{S_1} = n^2$

Данное равенство показывает, что площадь квадрата увеличилась в $n^2$ раз. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если сторона квадрата была $a$, а стала $n \cdot a$, то его площадь была $S_1 = a^2$, а стала $S_2 = (n \cdot a)^2 = n^2 \cdot a^2$. Отношение площадей равно $\frac{S_2}{S_1} = \frac{n^2 \cdot a^2}{a^2} = n^2$, следовательно, площадь увеличится в $n^2$ раз.