Номер 323, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 323, страница 58.

Условие.

323. Сравните значения выражений:

1) $ (-5)^{21} \cdot (-5) $ и $ (-5)^{24} $.

2) $ (-7)^{8} \cdot (-7)^{7} $ и $ (-7)^{17} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Сравним значения выражений $(-5)^{21} \cdot (-5)$ и $(-5)^{24}$.

Для начала упростим первое выражение, воспользовавшись свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Выражение $(-5)$ можно представить как $(-5)^1$.

$(-5)^{21} \cdot (-5) = (-5)^{21} \cdot (-5)^1 = (-5)^{21+1} = (-5)^{22}$.

Теперь необходимо сравнить два выражения: $(-5)^{22}$ и $(-5)^{24}$.

Основание степени $(-5)$ — отрицательное число. Показатели степени 22 и 24 — четные числа. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным.

Таким образом, $(-5)^{22} = 5^{22}$ и $(-5)^{24} = 5^{24}$.

Теперь сравним $5^{22}$ и $5^{24}$. Так как основание степени $5$ больше единицы, то больше то значение, у которого больше показатель степени. Поскольку $24 > 22$, то $5^{24} > 5^{22}$.

Отсюда следует, что $(-5)^{24} > (-5)^{22}$, а значит, исходные выражения соотносятся как $(-5)^{21} \cdot (-5) < (-5)^{24}$.

Ответ: $(-5)^{21} \cdot (-5) < (-5)^{24}$.

2) Сравним значения выражений $(-7)^8 \cdot (-7)^7$ и $(-7)^{17}$.

Упростим первое выражение, используя то же свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$(-7)^8 \cdot (-7)^7 = (-7)^{8+7} = (-7)^{15}$.

Теперь сравним два выражения: $(-7)^{15}$ и $(-7)^{17}$.

Основание степени $(-7)$ — отрицательное число. Показатели степени 15 и 17 — нечетные числа. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным.

Таким образом, $(-7)^{15} = -7^{15}$ и $(-7)^{17} = -7^{17}$.

Теперь нам нужно сравнить два отрицательных числа: $-7^{15}$ и $-7^{17}$. Сначала сравним их модули (абсолютные значения): $7^{15}$ и $7^{17}$.

Так как основание $7$ больше единицы, то $7^{17} > 7^{15}$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Поскольку $|-7^{17}| > |-7^{15}|$, то $-7^{17} < -7^{15}$.

Следовательно, $(-7)^{17} < (-7)^{15}$, а значит, исходные выражения соотносятся как $(-7)^8 \cdot (-7)^7 > (-7)^{17}$.

Ответ: $(-7)^8 \cdot (-7)^7 > (-7)^{17}$.