Номер 330, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 330, страница 59.

Условие.

330. Сравните значения выражений:

1) $10^{40}$ и $10001^{10}$.

2) $124^4$ и $5^{12}$.

3) $8^{12}$ и $59^6$.

4) $6^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы сравнить выражения $10^{40}$ и $10001^{10}$, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 40 и 10 равен 10.
Представим первое выражение в виде степени с показателем 10:
$10^{40} = 10^{4 \cdot 10} = (10^4)^{10}$.
Вычислим основание: $10^4 = 10000$.
Таким образом, мы сравниваем два числа: $(10000)^{10}$ и $10001^{10}$.
Так как показатели степеней одинаковы и равны 10, достаточно сравнить основания.
Сравниваем основания: $10000 < 10001$.
Следовательно, $(10000)^{10} < 10001^{10}$, а значит, $10^{40} < 10001^{10}$.
Ответ: $10^{40} < 10001^{10}$.

2) Для сравнения выражений $124^4$ и $5^{12}$ приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 4 и 12 равен 4.
Представим второе выражение в виде степени с показателем 4:
$5^{12} = 5^{3 \cdot 4} = (5^3)^4$.
Вычислим основание: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Теперь сравним выражения $124^4$ и $125^4$.
Поскольку показатели степеней одинаковы, сравниваем их основания.
$124 < 125$.
Следовательно, $124^4 < 125^4$, а значит, $124^4 < 5^{12}$.
Ответ: $124^4 < 5^{12}$.

3) Чтобы сравнить $8^{12}$ и $59^6$, приведем их к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 12 и 6 равен 6.
Преобразуем первое выражение:
$8^{12} = 8^{2 \cdot 6} = (8^2)^6$.
Вычислим основание: $8^2 = 64$.
Теперь нам нужно сравнить $64^6$ и $59^6$.
Так как показатели степеней равны, сравним основания.
$64 > 59$.
Поэтому $64^6 > 59^6$, а значит, $8^{12} > 59^6$.
Ответ: $8^{12} > 59^6$.

4) Для сравнения выражений $6^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$ разложим основания на простые множители.
Первое выражение: $6^{14} = (2 \cdot 3)^{14} = 2^{14} \cdot 3^{14}$.
Теперь сравним $2^{14} \cdot 3^{14}$ и $2^{16} \cdot 3^{12}$.
Чтобы упростить сравнение, разделим оба выражения на их общую часть $2^{14} \cdot 3^{12}$ (это положительное число, поэтому знак неравенства не изменится).
Результат деления первого выражения:
$\frac{2^{14} \cdot 3^{14}}{2^{14} \cdot 3^{12}} = 3^{14-12} = 3^2 = 9$.
Результат деления второго выражения:
$\frac{2^{16} \cdot 3^{12}}{2^{14} \cdot 3^{12}} = 2^{16-14} = 2^2 = 4$.
Сравниваем полученные результаты: $9 > 4$.
Это означает, что первое исходное выражение больше второго.
Следовательно, $6^{14} > 2^{16} \cdot 3^{12}$.
Ответ: $6^{14} > 2^{16} \cdot 3^{12}$.