Номер 332, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 332, страница 59.

Условие.

332. Какой цифрой оканчивается значение выражения ($n$ — натуральное число):

1) $4^{100}$.

2) $3^{4n}$.

3) $4^n$.

4) $3^n$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) 4¹⁰⁰

Чтобы определить последнюю цифру значения выражения, найдём закономерность в последних цифрах степеней числа 4.
$4^1 = 4$
$4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
$4^3 = 64$ (оканчивается на 4)
$4^4 = 256$ (оканчивается на 6)
Можно заметить, что последние цифры степеней числа 4 циклически повторяются: (4, 6). Если показатель степени является нечётным числом, то последняя цифра равна 4. Если показатель степени является чётным числом, то последняя цифра равна 6.
В выражении $4^{100}$ показатель степени 100 — это чётное число, следовательно, значение выражения оканчивается на 6.
Ответ: 6.

2) 3⁴ⁿ

В условии, по всей видимости, допущена опечатка и вместо $34n$ имелось в виду выражение $3^{4n}$, поскольку для $34n$ последняя цифра зависит от выбора натурального числа $n$ и не является постоянной. Решим задачу для выражения $3^{4n}$.
Найдем закономерность в последних цифрах степеней числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)
Последние цифры (3, 9, 7, 1) повторяются с периодом 4.
Показатель степени в выражении $3^{4n}$ равен $4n$. Так как $n$ — натуральное число, показатель $4n$ всегда будет кратен 4. Это означает, что последняя цифра выражения $3^{4n}$ будет такой же, как у $3^4$, то есть 1.
Ответ: 1.

3) 4ⁿ

Как было показано в решении пункта 1, последняя цифра степеней числа 4 зависит от чётности показателя степени $n$.
Если $n$ — нечётное число (например, $1, 3, 5, \dots$), то $4^n$ оканчивается на 4.
Если $n$ — чётное число (например, $2, 4, 6, \dots$), то $4^n$ оканчивается на 6.
Поскольку $n$ может быть любым натуральным числом, однозначного ответа, не зависящего от $n$, не существует.
Ответ: 4 (если $n$ нечётное) или 6 (если $n$ чётное).

4) 3ⁿ

Как было показано в решении пункта 2, последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом (3, 9, 7, 1) длиной 4.
Последняя цифра выражения $3^n$ зависит от остатка от деления $n$ на 4:
• если $n$ при делении на 4 даёт в остатке 1 (т.е. $n=4k+1$), последняя цифра — 3;
• если $n$ при делении на 4 даёт в остатке 2 (т.е. $n=4k+2$), последняя цифра — 9;
• если $n$ при делении на 4 даёт в остатке 3 (т.е. $n=4k+3$), последняя цифра — 7;
• если $n$ делится на 4 без остатка (т.е. $n=4k$), последняя цифра — 1.
Поскольку $n$ может быть любым натуральным числом, однозначного ответа, не зависящего от $n$, не существует.
Ответ: 3, 9, 7 или 1, в зависимости от остатка от деления $n$ на 4.