Номер 336, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 336, страница 59.

Условие.

336. Докажите, что $48^{25} < 344^{17}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства неравенства $48^{25} < 344^{17}$ воспользуемся методом сравнения через промежуточные значения. Мы найдем удобные степени числа 7, которые будут ограничивать левую и правую части неравенства.

1. Рассмотрим левую часть неравенства: $48^{25}$.

Заметим, что число 48 близко к числу 49, которое является точным квадратом числа 7 ($49 = 7^2$).

Поскольку $48 < 49$, то при возведении в положительную степень 25 знак неравенства сохранится:

$48^{25} < 49^{25}$

Теперь преобразуем правую часть полученного неравенства, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$49^{25} = (7^2)^{25} = 7^{2 \cdot 25} = 7^{50}$

Таким образом, мы установили первое важное соотношение: $48^{25} < 7^{50}$.

2. Рассмотрим правую часть исходного неравенства: $344^{17}$.

Заметим, что число 344 близко к числу 343, которое является точным кубом числа 7 ($343 = 7^3$).

Поскольку $344 > 343$, то при возведении в положительную степень 17 знак неравенства также сохранится:

$344^{17} > 343^{17}$

Преобразуем правую часть этого неравенства:

$343^{17} = (7^3)^{17} = 7^{3 \cdot 17} = 7^{51}$

Таким образом, мы установили второе важное соотношение: $344^{17} > 7^{51}$.

3. Сопоставим полученные результаты.

Мы имеем два неравенства:

$48^{25} < 7^{50}$

$7^{51} < 344^{17}$

Теперь сравним между собой степени $7^{50}$ и $7^{51}$. Так как основание степени $7 > 1$, то чем больше показатель степени, тем больше значение. Поскольку $50 < 51$, то:

$7^{50} < 7^{51}$

Наконец, объединим все полученные неравенства в одну общую цепочку:

$48^{25} < 7^{50} < 7^{51} < 344^{17}$

Из этой цепочки неравенств следует, что левая часть ($48^{25}$) строго меньше правой части ($344^{17}$), что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.