Номер 341, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 341, страница 60.

Условие.

341. В шестизначном числе первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам 7, 11 и 13.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть данное шестизначное число $N$ имеет вид $\overline{abcabc}$, где $a, b, c$ — это цифры. Согласно условию задачи, первая цифра равна четвёртой ($a$), вторая — пятой ($b$), а третья — шестой ($c$). Так как число является шестизначным, первая цифра $a$ не может быть нулём ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ и $c$ могут быть любыми цифрами ($b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Представим это число $N$ в виде суммы разрядных слагаемых:$N = a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$

Это выражение можно преобразовать, представив число $N$ как сумму двух трёхзначных групп цифр:$N = (a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3) + (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c)$$N = 1000 \cdot (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c) + 1 \cdot (a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c)$

Выражение $a \cdot 10^2 + b \cdot 10 + c$ является алгебраической записью трёхзначного числа $\overline{abc}$. Вынесем его как общий множитель:$N = \overline{abc} \cdot (1000 + 1)$$N = \overline{abc} \cdot 1001$

Теперь, чтобы доказать, что число $N$ кратно 7, 11 и 13, нам достаточно показать, что множитель 1001 кратен этим числам. Проверим это, найдя произведение чисел 7, 11 и 13:$7 \cdot 11 = 77$$77 \cdot 13 = 77 \cdot (10 + 3) = 770 + 231 = 1001$

Таким образом, мы получили, что $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Подставим это разложение в выражение для нашего числа $N$:$N = \overline{abc} \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13)$

Из полученного равенства видно, что число $N$ имеет в своем разложении на множители числа 7, 11 и 13. Это означает, что $N$ делится нацело на 7, на 11 и на 13. Утверждение доказано.

Ответ: Любое шестизначное число, у которого первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы, можно представить в виде произведения $\overline{abc} \cdot 1001$. Поскольку $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, такое число всегда будет кратно числам 7, 11 и 13.