Номер 344, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 344, страница 60.

Условие.

344. Трамвайные билеты имеют номера от 000 000 до 999 999. Номер называют «счастливым», если сумма трёх его первых цифр равна сумме трёх последних. Докажите, что количество «счастливых» билетов чётно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что количество «счастливых» билетов чётно, мы покажем, что все счастливые билеты можно разбить на пары без остатка.

Номер трамвайного билета представляет собой шестизначное число $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3$, где $a_i$ и $b_i$ — это цифры. Билет называется «счастливым», если выполняется равенство:

$a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$

Рассмотрим преобразование, которое каждому счастливому билету $N$ ставит в соответствие новый билет $N'$, в котором каждая цифра $d$ заменена на $9-d$. То есть, если $N = a_1a_2a_3b_1b_2b_3$, то $N' = (9-a_1)(9-a_2)(9-a_3)(9-b_1)(9-b_2)(9-b_3)$.

Проверим, является ли билет $N'$ также счастливым. Найдем сумму его первых трёх цифр:

$(9-a_1) + (9-a_2) + (9-a_3) = 27 - (a_1 + a_2 + a_3)$

И сумму последних трёх цифр:

$(9-b_1) + (9-b_2) + (9-b_3) = 27 - (b_1 + b_2 + b_3)$

Поскольку исходный билет $N$ был счастливым, то $a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3$. Следовательно, $27 - (a_1 + a_2 + a_3) = 27 - (b_1 + b_2 + b_3)$, а это значит, что и у билета $N'$ суммы первой и второй троек цифр равны. Таким образом, $N'$ тоже является счастливым билетом.

Теперь заметим, что для любого билета $N$, билет $N'$ не может быть равен $N$. Если бы $N = N'$, то каждая цифра $d$ билета $N$ должна была бы удовлетворять уравнению $d = 9-d$, что дает $2d=9$. У этого уравнения нет целочисленных решений, а цифры могут быть только целыми числами от 0 до 9. Значит, $N \neq N'$ для любого счастливого билета $N$.

Применив преобразование дважды, мы вернемся к исходному билету. Если мы возьмем билет $N'$ и применим к нему то же преобразование (заменим каждую его цифру $d'$ на $9-d'$), то получим исходный билет $N$, так как $9 - (9-d) = d$.

Таким образом, все счастливые билеты можно разбить на непересекающиеся пары вида $\{N, N'\}$. Поскольку каждый счастливый билет входит в одну и только одну такую пару, общее количество счастливых билетов должно быть чётным.

Ответ: Утверждение доказано. Все счастливые билеты разбиваются на пары вида $\{N, N'\}$, где $N'$ получается из $N$ заменой каждой цифры $d$ на $9-d$. Так как в этих парах билеты никогда не совпадают, общее число счастливых билетов чётно.