Страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим 1?

1. Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение, состоящее из n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

Это выражение записывается как $a^n$ и читается «а в степени n». Формально это можно представить так:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

В этой записи:

• $a$ — это основание степени (число, которое умножается само на себя).
• $n$ — это показатель степени (натуральное число, $n > 1$, которое показывает, сколько раз нужно умножить основание само на себя).
• $a^n$ — это сама степень (результат вычисления).

Например, выражение $2^5$ (два в пятой степени) означает, что число 2 нужно умножить само на себя 5 раз:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Здесь 2 — основание, 5 — показатель, а 32 — значение степени.

Ответ: Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называют выражение $a^n$, которое равно произведению n множителей, каждый из которых равен a.

2. Как читают запись: $a^n$; $a^2$; $a^3$?

$a^n$: Данная запись представляет собой степень в общем виде. Здесь `$a$` — это основание степени, а `$n$` — показатель степени. Читается это выражение как «а в степени эн». Реже используется вариант «эн-ная степень числа а».
Ответ: «а в степени эн».

$a^2$: Это запись второй степени числа `$a$`. Вторая степень имеет собственное название — «квадрат». Поэтому данное выражение чаще всего читают как «а в квадрате». Также допустим и понятен вариант «а во второй степени».
Ответ: «а в квадрате».

$a^3$: Это запись третьей степени числа `$a$`. Как и вторая степень, третья степень имеет собственное название — «куб». Поэтому выражение читается как «а в кубе». Менее распространенный, но грамматически верный вариант — «а в третьей степени».
Ответ: «а в кубе».

3. Что называют степенью числа $a$ с показателем $1$?

Степенью числа a с показателем 1 по определению является само это число a. Это правило является фундаментальным в алгебре и установлено для того, чтобы свойства степеней были справедливы для любых натуральных показателей.

Математически это записывается так:
$a^1 = a$

Это определение логично вытекает из свойства умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Если мы возьмем $n=1$, то получим: $a^m \cdot a^1 = a^{m+1}$.
Мы знаем, что $a^{m+1}$ — это произведение $(m+1)$ множителей, каждый из которых равен a. Его можно представить как $(\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot a$, что равно $a^m \cdot a$.
Сравнивая два выражения для $a^{m+1}$, получаем:
$a^m \cdot a^1 = a^m \cdot a$
Из этого равенства следует, что $a^1 = a$.

Например:

• $7^1 = 7$
• $(-25)^1 = -25$
• $(\frac{3}{4})^1 = \frac{3}{4}$
• $x^1 = x$

Таким образом, любое число в первой степени равно самому себе.

Ответ: Степенью числа a с показателем 1 называют само число a.

4. Чему равно значение выражения $0^n$ при любом натуральном значении n?

Для того чтобы найти значение выражения $0^n$ при любом натуральном значении $n$, необходимо рассмотреть определение степени с натуральным показателем.

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете: $1, 2, 3, \dots$ и так далее до бесконечности. В условии задачи указано, что показатель степени $n$ является любым натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

Возведение числа $a$ (основания степени) в натуральную степень $n$ (показатель степени) — это операция, результатом которой является произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.
Формула выглядит следующим образом:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Применим это определение к выражению $0^n$. В этом случае основание степени $a=0$, а показатель $n$ — любое натуральное число.
$0^n = \underbrace{0 \cdot 0 \cdot \dots \cdot 0}_{n \text{ раз}}$

Согласно основному свойству умножения, если в произведении хотя бы один из множителей равен нулю, то всё произведение равно нулю. В нашем случае все $n$ множителей равны нулю. Следовательно, их произведение всегда будет равно нулю, независимо от значения натурального показателя $n$.

Например:
При $n=1$: $0^1 = 0$
При $n=2$: $0^2 = 0 \cdot 0 = 0$
При $n=7$: $0^7 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

Таким образом, для любого натурального числа $n$ значение выражения $0^n$ всегда будет равно нулю.

Ответ: 0

5. Какое число, положительное или отрицательное, получают при возведении в степень положительного числа?

При возведении положительного числа в любую действительную степень результатом всегда будет положительное число.

Давайте разберемся, почему это так, рассмотрев разные типы показателей степени. Пусть основание степени — это положительное число $a$, где $a > 0$, а показатель степени — число $n$. Мы ищем знак выражения $a^n$.

1. Если показатель степени — натуральное число ($n > 0$):
Возведение в степень в этом случае — это многократное умножение числа на само себя. $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$ Поскольку произведение любого количества положительных чисел всегда является положительным числом, результат $a^n$ будет строго положительным. Например: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Число $8$ — положительное.

2. Если показатель степени — ноль ($n = 0$):
По определению, любое ненулевое число (в том числе и любое положительное) в нулевой степени равно единице. $a^0 = 1$ Число $1$ является положительным. Например: $15^0 = 1$.

3. Если показатель степени — отрицательное целое число ($n < 0$):
Пусть $n = -m$, где $m$ — натуральное число. Тогда по определению степени с отрицательным показателем: $a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ Из пункта 1 мы знаем, что знаменатель $a^m$ — положительное число. Результат деления положительного числа (1) на другое положительное число ($a^m$) также всегда будет положительным. Например: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$. Число $\frac{1}{16}$ — положительное.

4. Если показатель степени — дробное или иррациональное число:
Это правило распространяется и на любые действительные показатели. Показательная функция $y=a^x$ при основании $a>0$ определена для всех действительных чисел $x$, и ее значения всегда положительны. График этой функции полностью лежит выше оси абсцисс. Например: $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$. Число $3$ — положительное.

Таким образом, независимо от того, является ли показатель степени положительным, отрицательным, нулевым, целым, дробным или иррациональным, результат возведения положительного числа в эту степень всегда будет положительным числом.

Ответ: При возведении положительного числа в любую степень всегда получают положительное число.

6. Каким числом, положительным или отрицательным, является значение степени отрицательного числа, если показатель степени является чётным числом? нечётным числом?

Если показатель степени является чётным числом
При возведении отрицательного числа в чётную степень результат всегда будет положительным числом.
Пусть у нас есть отрицательное число $-a$ (где $a > 0$) и чётный показатель степени $n$, который можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число.
Тогда степень можно записать как $(-a)^n = (-a)^{2k}$.
Используя свойство степеней, получим:
$(-a)^{2k} = ((-a)^2)^k = (a^2)^k$
Поскольку $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a^2$ — это произведение двух отрицательных чисел, результат $a^2$ будет положительным. Любая натуральная степень положительного числа также является положительным числом.
Можно рассуждать и по-другому: возведение в степень $n$ — это умножение числа само на себя $n$ раз. Если $n$ — чётное число, то мы имеем чётное количество отрицательных множителей. Их можно разбить на пары. Произведение в каждой паре $(-a) \times (-a)$ будет положительным. Произведение положительных чисел также положительно.
Например: $(-5)^4 = (-5) \times (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times 25 = 625$.
Ответ: положительным.

Если показатель степени является нечётным числом
При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат всегда будет отрицательным числом.
Пусть у нас есть отрицательное число $-a$ (где $a > 0$) и нечётный показатель степени $n$, который можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Тогда степень можно записать как $(-a)^n = (-a)^{2k+1}$.
Используя свойство степеней, получим:
$(-a)^{2k+1} = (-a)^{2k} \times (-a)^1$
Как мы установили в предыдущем пункте, множитель $(-a)^{2k}$ является положительным числом. Мы умножаем это положительное число на отрицательное число $(-a)$. Произведение положительного и отрицательного числа всегда отрицательно.
Можно рассуждать и по-другому: если мы перемножаем отрицательное число само на себя нечётное количество раз, то все множители, кроме одного, можно разбить на пары. Каждая пара в произведении даст положительный результат. Но оставшийся без пары отрицательный множитель при умножении на этот положительный результат сделает итоговое произведение отрицательным.
Например: $(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times 4 \times (-2) = 16 \times (-2) = -32$.
Ответ: отрицательным.