Номер 5, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 5, страница 45.

Условие.

5. Какое число, положительное или отрицательное, получают при возведении в степень положительного числа?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

При возведении положительного числа в любую действительную степень результатом всегда будет положительное число.

Давайте разберемся, почему это так, рассмотрев разные типы показателей степени. Пусть основание степени — это положительное число $a$, где $a > 0$, а показатель степени — число $n$. Мы ищем знак выражения $a^n$.

1. Если показатель степени — натуральное число ($n > 0$):
Возведение в степень в этом случае — это многократное умножение числа на само себя. $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$ Поскольку произведение любого количества положительных чисел всегда является положительным числом, результат $a^n$ будет строго положительным. Например: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Число $8$ — положительное.

2. Если показатель степени — ноль ($n = 0$):
По определению, любое ненулевое число (в том числе и любое положительное) в нулевой степени равно единице. $a^0 = 1$ Число $1$ является положительным. Например: $15^0 = 1$.

3. Если показатель степени — отрицательное целое число ($n < 0$):
Пусть $n = -m$, где $m$ — натуральное число. Тогда по определению степени с отрицательным показателем: $a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ Из пункта 1 мы знаем, что знаменатель $a^m$ — положительное число. Результат деления положительного числа (1) на другое положительное число ($a^m$) также всегда будет положительным. Например: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$. Число $\frac{1}{16}$ — положительное.

4. Если показатель степени — дробное или иррациональное число:
Это правило распространяется и на любые действительные показатели. Показательная функция $y=a^x$ при основании $a>0$ определена для всех действительных чисел $x$, и ее значения всегда положительны. График этой функции полностью лежит выше оси абсцисс. Например: $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$. Число $3$ — положительное.

Таким образом, независимо от того, является ли показатель степени положительным, отрицательным, нулевым, целым, дробным или иррациональным, результат возведения положительного числа в эту степень всегда будет положительным числом.

Ответ: При возведении положительного числа в любую степень всегда получают положительное число.