Номер 6, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 6, страница 45.

Условие.

6. Каким числом, положительным или отрицательным, является значение степени отрицательного числа, если показатель степени является чётным числом? нечётным числом?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Если показатель степени является чётным числом
При возведении отрицательного числа в чётную степень результат всегда будет положительным числом.
Пусть у нас есть отрицательное число $-a$ (где $a > 0$) и чётный показатель степени $n$, который можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число.
Тогда степень можно записать как $(-a)^n = (-a)^{2k}$.
Используя свойство степеней, получим:
$(-a)^{2k} = ((-a)^2)^k = (a^2)^k$
Поскольку $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a^2$ — это произведение двух отрицательных чисел, результат $a^2$ будет положительным. Любая натуральная степень положительного числа также является положительным числом.
Можно рассуждать и по-другому: возведение в степень $n$ — это умножение числа само на себя $n$ раз. Если $n$ — чётное число, то мы имеем чётное количество отрицательных множителей. Их можно разбить на пары. Произведение в каждой паре $(-a) \times (-a)$ будет положительным. Произведение положительных чисел также положительно.
Например: $(-5)^4 = (-5) \times (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times 25 = 625$.
Ответ: положительным.

Если показатель степени является нечётным числом
При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат всегда будет отрицательным числом.
Пусть у нас есть отрицательное число $-a$ (где $a > 0$) и нечётный показатель степени $n$, который можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число.
Тогда степень можно записать как $(-a)^n = (-a)^{2k+1}$.
Используя свойство степеней, получим:
$(-a)^{2k+1} = (-a)^{2k} \times (-a)^1$
Как мы установили в предыдущем пункте, множитель $(-a)^{2k}$ является положительным числом. Мы умножаем это положительное число на отрицательное число $(-a)$. Произведение положительного и отрицательного числа всегда отрицательно.
Можно рассуждать и по-другому: если мы перемножаем отрицательное число само на себя нечётное количество раз, то все множители, кроме одного, можно разбить на пары. Каждая пара в произведении даст положительный результат. Но оставшийся без пары отрицательный множитель при умножении на этот положительный результат сделает итоговое произведение отрицательным.
Например: $(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times 4 \times (-2) = 16 \times (-2) = -32$.
Ответ: отрицательным.