Номер 226, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 226, страница 43.

Условие.

226. На доске написаны числа $1, 2, 3, \dots, 10$. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них прибавить 5 или из каждого вычесть 1. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске, оказались равными?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для ответа на этот вопрос проанализируем, как изменяется сумма всех чисел на доске в результате разрешенных операций. Этот метод, основанный на поиске инварианта (свойства, которое не меняется), позволит нам определить, достижима ли поставленная цель.

Изначально на доске написаны числа от 1 до 10. Найдем их сумму, которую обозначим $S_{нач}$:

$S_{нач} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = 55$

Начальная сумма равна 55, что является нечетным числом.

Далее рассмотрим, как каждая из двух разрешенных операций влияет на общую сумму. За один шаг мы выбираем два числа.

1. Если к каждому из двух чисел прибавить 5, то общая сумма всех чисел на доске увеличится на $5 + 5 = 10$.

2. Если из каждого из двух чисел вычесть 1, то общая сумма всех чисел на доске уменьшится на $1 + 1 = 2$.

Заметим, что оба возможных изменения суммы (+10 и -2) являются четными числами. Начальная сумма (55) — нечетное число. Прибавление к нечетному числу четного или вычитание из него четного числа всегда дает в результате нечетное число. Таким образом, четность суммы всех чисел на доске является инвариантом: после любого количества шагов эта сумма всегда будет оставаться нечетной.

Теперь предположим, что нам удалось достичь цели, и все 10 чисел на доске стали равны некоторому числу $k$. В этом случае конечная сумма всех чисел, $S_{кон}$, будет равна:

$S_{кон} = 10 \times k$

Для любого целого числа $k$ произведение $10k$ является четным числом, так как его можно представить в виде $2 \times (5k)$.

В результате мы приходим к противоречию. С одной стороны, сумма чисел на доске в результате наших операций всегда должна быть нечетной. С другой стороны, если бы все числа стали равными, их сумма должна была бы стать четной. Поскольку одно и то же число не может быть одновременно и четным, и нечетным, достичь поставленной цели невозможно.

Ответ: Нет, с помощью указанных операций нельзя добиться того, чтобы все числа на доске оказались равными.