Номер 219, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 219, страница 42.

Условие.

219. Докажите, что не являются тождественно равными выражения:

1) $4 - m^2$ и $(2 - m)^2$;

2) $|-m|$ и $m$;

3) $m^3 + 8$ и $(m + 2)(m^2 + 4)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что два выражения не являются тождественно равными, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором значения этих выражений не равны. Такой пример называется контрпримером.

1) $4 - m^2$ и $(2 - m)^2$

Для доказательства можно либо упростить одно из выражений и сравнить их, либо найти контрпример.

Способ 1: Упрощение.
Упростим второе выражение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2-m)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot m + m^2 = 4 - 4m + m^2$.
Сравниваем полученное выражение с первым: $4 - 4m + m^2$ и $4 - m^2$. Очевидно, что эти выражения не равны для всех $m$. Равенство $4 - 4m + m^2 = 4 - m^2$ выполняется только при $2m^2 - 4m = 0$, то есть при $m=0$ или $m=2$, но не для всех значений $m$.

Способ 2: Контрпример.
Подставим в оба выражения произвольное значение переменной $m$, например, $m = 1$.
Значение первого выражения: $4 - m^2 = 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.
Значение второго выражения: $(2 - m)^2 = (2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Поскольку $3 \neq 1$, значения выражений при $m=1$ не совпадают, следовательно, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=1$ их значения равны $3$ и $1$ соответственно.

2) $|-m|$ и $m$

По определению, модуль числа — это всегда неотрицательная величина, то есть $|-m| \ge 0$ для любого значения $m$. Выражение $m$ может принимать любые значения, включая отрицательные.
Найдём контрпример. Выберем любое отрицательное значение для $m$, например, $m = -5$.
Значение первого выражения: $|-m| = |-(-5)| = |5| = 5$.
Значение второго выражения: $m = -5$.
Поскольку $5 \neq -5$, значения выражений не совпадают. Следовательно, данные выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=-5$ их значения равны $5$ и $-5$ соответственно.

3) $m^3 + 8$ и $(m+2)(m^2 + 4)$

Для доказательства можно раскрыть скобки во втором выражении или найти контрпример.

Способ 1: Упрощение.
Раскроем скобки во втором выражении, выполнив умножение многочленов:
$(m+2)(m^2+4) = m \cdot m^2 + m \cdot 4 + 2 \cdot m^2 + 2 \cdot 4 = m^3 + 4m + 2m^2 + 8 = m^3 + 2m^2 + 4m + 8$.
Сравниваем полученное выражение с первым: $m^3 + 2m^2 + 4m + 8$ и $m^3 + 8$. Эти выражения не равны для всех $m$. (Напомним, что формула суммы кубов для первого выражения выглядит так: $m^3 + 8 = m^3 + 2^3 = (m+2)(m^2-2m+4)$).

Способ 2: Контрпример.
Подставим в оба выражения произвольное значение $m$, например, $m = 1$.
Значение первого выражения: $m^3 + 8 = 1^3 + 8 = 1 + 8 = 9$.
Значение второго выражения: $(m+2)(m^2+4) = (1+2)(1^2+4) = 3 \cdot (1+4) = 3 \cdot 5 = 15$.
Поскольку $9 \neq 15$, значения выражений при $m=1$ не совпадают, следовательно, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=1$ их значения равны $9$ и $15$ соответственно.