Номер 215, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 215, страница 42.

Условие.

215. Запишите в виде равенства утверждение:

1) сумма противоположных чисел равна нулю;

$a + (-a) = 0$

2) произведение данного числа и числа 1 равно 1;

$a \cdot 1 = 1$

3) произведение данного числа и числа $-1$ является число, противоположное данному;

$a \cdot (-1) = -a$

4) модули противоположных чисел равны;

$|a| = |-a|$

5) разность противоположных чисел равна нулю.

$a - (-a) = 0$

Какие из этих равенств являются тождествами?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) сумма противоположных чисел равна нулю;

Пусть дано произвольное число $a$. Число, противоположное ему, это $-a$. Сумма этих чисел записывается как $a + (-a)$. Утверждение гласит, что эта сумма равна нулю. Таким образом, получаем равенство: $a + (-a) = 0$.
Это равенство является верным для любого числа $a$, так как $a + (-a) = a - a = 0$. Следовательно, это тождество.
Ответ: $a + (-a) = 0$.

2) произведение данного числа и числа 1 равно 1;

Пусть дано произвольное число $a$. Произведение этого числа и числа 1 равно $a \cdot 1$. Утверждение гласит, что это произведение равно 1. Получаем равенство: $a \cdot 1 = 1$, или $a = 1$.
Это равенство является верным только для одного значения $a=1$. Оно не выполняется для других чисел (например, если $a=5$, то $5 \cdot 1 = 5 \ne 1$). Следовательно, это не тождество.
Ответ: $a \cdot 1 = 1$.

3) произведением данного числа и числа –1 является число, противоположное данному;

Пусть дано произвольное число $a$. Произведение этого числа и числа –1 равно $a \cdot (-1)$. Число, противоположное данному, это $-a$. Утверждение гласит, что результат произведения равен противоположному числу. Получаем равенство: $a \cdot (-1) = -a$.
Это равенство является верным для любого числа $a$ по определению умножения на –1. Следовательно, это тождество.
Ответ: $a \cdot (-1) = -a$.

4) модули противоположных чисел равны;

Пусть дано произвольное число $a$. Его модуль равен $|a|$. Противоположное ему число равно $-a$, а его модуль — $|-a|$. Утверждение гласит, что модули этих чисел равны. Получаем равенство: $|a| = |-a|$.
Это равенство является верным для любого числа $a$, так как модуль числа определяет расстояние от нуля на координатной прямой, а числа $a$ и $-a$ всегда находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Следовательно, это тождество.
Ответ: $|a| = |-a|$.

5) разность противоположных чисел равна нулю.

Пусть дано произвольное число $a$. Противоположное ему число равно $-a$. Разность этих чисел (в указанном порядке) равна $a - (-a)$. Утверждение гласит, что эта разность равна нулю. Получаем равенство: $a - (-a) = 0$.
Упростим левую часть: $a - (-a) = a + a = 2a$. Таким образом, равенство можно записать как $2a = 0$. Это равенство верно только при $a=0$. Оно не выполняется для других чисел (например, если $a=3$, то $3 - (-3) = 6 \ne 0$). Следовательно, это не тождество.
Ответ: $a - (-a) = 0$.

Какие из этих равенств являются тождествами?

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Проанализировав полученные равенства, можно сделать вывод, что тождествами являются равенства, верные для любого числа $a$.
К таким равенствам относятся:
1) $a + (-a) = 0$
3) $a \cdot (-1) = -a$
4) $|a| = |-a|$
Равенства 2) $a = 1$ и 5) $a - (-a) = 0$ (или $2a=0$) не являются тождествами, так как они верны только для конкретных значений $a$ (1 и 0 соответственно), а не для всех.
Ответ: Тождествами являются равенства 1, 3, 4.