Номер 218, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 218, страница 42.

Условие.

218. Докажите, что не является тождеством равенство:

1) $(a+3)^2 = a^2+9;$

2) $(b-1)(b+1) = (b-1)b+1;$

3) $(c+1)^3 = c^3+1;$

4) $|m| - |n| = |n| - |m|.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Чтобы доказать, что равенство $(a + 3)^2 = a^2 + 9$ не является тождеством, необходимо найти хотя бы одно значение переменной a, при котором оно не выполняется, или показать, что левая и правая части не равны в общем виде.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(a + 3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$.
Теперь сравним преобразованную левую часть с правой частью исходного равенства:
$a^2 + 6a + 9 \neq a^2 + 9$ для большинства значений a.
Равенство $a^2 + 6a + 9 = a^2 + 9$ будет верным, только если $6a = 0$, то есть при $a = 0$.
Так как равенство выполняется не для всех возможных значений a, оно не является тождеством.
Приведем контрпример. Пусть $a = 1$.
Подставим это значение в левую часть: $(1 + 3)^2 = 4^2 = 16$.
Подставим это значение в правую часть: $1^2 + 9 = 1 + 9 = 10$.
Поскольку $16 \neq 10$, равенство неверно.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно не выполняется, например, при $a=1$.

2)

Рассмотрим равенство $(b - 1)(b + 1) = (b - 1)b + 1$. Преобразуем обе части равенства.
Левую часть преобразуем по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$(b - 1)(b + 1) = b^2 - 1^2 = b^2 - 1$.
Правую часть преобразуем, раскрыв скобки:
$(b - 1)b + 1 = b \cdot b - 1 \cdot b + 1 = b^2 - b + 1$.
Сравним полученные выражения: $b^2 - 1$ и $b^2 - b + 1$.
Равенство $b^2 - 1 = b^2 - b + 1$ будет верным, только если $-1 = -b + 1$, что равносильно $b = 2$.
Поскольку равенство выполняется только при $b=2$, а не при всех значениях b, оно не является тождеством.
Приведем контрпример. Пусть $b = 3$.
Левая часть: $(3 - 1)(3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8$.
Правая часть: $(3 - 1) \cdot 3 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
Так как $8 \neq 7$, равенство неверно.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно не выполняется, например, при $b=3$.

3)

Рассмотрим равенство $(c + 1)^3 = c^3 + 1$.
Преобразуем левую часть, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$(c + 1)^3 = c^3 + 3 \cdot c^2 \cdot 1 + 3 \cdot c \cdot 1^2 + 1^3 = c^3 + 3c^2 + 3c + 1$.
Сравним полученное выражение с правой частью: $c^3 + 3c^2 + 3c + 1$ и $c^3 + 1$.
Равенство $c^3 + 3c^2 + 3c + 1 = c^3 + 1$ будет верным, только если $3c^2 + 3c = 0$, или $3c(c+1) = 0$. Это уравнение имеет два корня: $c=0$ и $c=-1$.
Так как равенство выполняется не для всех значений c, оно не является тождеством.
Приведем контрпример. Пусть $c = 2$.
Левая часть: $(2 + 1)^3 = 3^3 = 27$.
Правая часть: $2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$.
Так как $27 \neq 9$, равенство неверно.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно не выполняется, например, при $c=2$.

4)

Рассмотрим равенство $|m| - |n| = |n| - |m|$.
Перенесем члены с $|m|$ в левую часть, а члены с $|n|$ в правую:
$|m| + |m| = |n| + |n|$
$2|m| = 2|n|$
$|m| = |n|$
Это означает, что исходное равенство верно только для тех чисел m и n, модули которых равны. Тождество же должно выполняться для любых значений переменных.
Чтобы доказать, что это не тождество, достаточно привести пример, где $|m| \neq |n|$.
Приведем контрпример. Пусть $m = 3$ и $n = 1$.
Левая часть: $|3| - |1| = 3 - 1 = 2$.
Правая часть: $|1| - |3| = 1 - 3 = -2$.
Так как $2 \neq -2$, равенство неверно.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно не выполняется, например, при $m=3$ и $n=1$.