Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

213. Докажите тождество:

1) $-0,2(4b - 9) + 1,4b = 0,6b + 1,8;$

2) $(5a - 3b) - (4 + 5a - 3b) = -4;$

3) $5(0,4x - 0,3) + (0,8 - 0,6x) = 1,4x - 0,7;$

4) $\frac{1}{9}(3y - 27) - 2\left(\frac{1}{12}y - 1,5\right) = \frac{1}{6}y.$

1) Чтобы доказать тождество $-0,2(4b - 9) + 1,4b = 0,6b + 1,8$, нужно преобразовать одну из его частей так, чтобы она стала идентичной другой. Преобразуем левую часть.
Сначала раскроем скобки, умножив $-0,2$ на каждый член внутри скобок:
$-0,2 \cdot 4b - 0,2 \cdot (-9) + 1,4b = -0,8b + 1,8 + 1,4b$.
Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие переменную $b$):
$(-0,8b + 1,4b) + 1,8 = 0,6b + 1,8$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой части: $0,6b + 1,8 = 0,6b + 1,8$. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $(5a - 3b) - (4 + 5a - 3b) = -4$. Преобразуем левую часть выражения.
Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:
$5a - 3b - 4 - 5a + 3b$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5a - 5a) + (-3b + 3b) - 4 = 0 + 0 - 4 = -4$.
Левая часть равна правой: $-4 = -4$. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $5(0,4x - 0,3) + (0,8 - 0,6x) = 1,4x - 0,7$. Преобразуем левую часть.
Раскроем скобки. Первую — умножая на 5, вторую — просто убирая, так как перед ней стоит плюс:
$5 \cdot 0,4x - 5 \cdot 0,3 + 0,8 - 0,6x = 2x - 1,5 + 0,8 - 0,6x$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2x - 0,6x) + (-1,5 + 0,8) = 1,4x - 0,7$.
Левая часть тождества стала равна правой: $1,4x - 0,7 = 1,4x - 0,7$. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $\frac{1}{9}(3y - 27) - 2(\frac{1}{12}y - 1,5) = \frac{1}{6}y$. Преобразуем левую часть выражения.
Раскроем обе скобки:
$\frac{1}{9} \cdot 3y - \frac{1}{9} \cdot 27 - 2 \cdot \frac{1}{12}y - 2 \cdot (-1,5) = \frac{3}{9}y - \frac{27}{9} - \frac{2}{12}y + 3$.
Сократим дроби и упростим:
$\frac{1}{3}y - 3 - \frac{1}{6}y + 3$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(\frac{1}{3}y - \frac{1}{6}y) + (-3 + 3)$.
Приведем дроби с переменной $y$ к общему знаменателю 6:
$(\frac{2}{6}y - \frac{1}{6}y) + 0 = \frac{1}{6}y$.
В результате преобразований левая часть стала равна правой: $\frac{1}{6}y = \frac{1}{6}y$. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

214. Какие из данных равенств являются тождествами:

1) $(2a - 3b)^2 = (3b - 2a)^2$;

2) $(a - b)^3 = (b - a)^3$;

3) $|a + 5| = a + 5$;

4) $|a - b| = |b - a|$;

5) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$;

6) $|a + b| = |a| + |b|$;

7) $|a - 1| = |a| - 1$;

8) $a^2 - b^2 = (a - b)^2$?

1) $(2a - 3b)^2 = (3b - 2a)^2$

Рассмотрим правую часть равенства. В выражении в скобках можно вынести знак минус: $3b - 2a = -(2a - 3b)$.

Тогда правая часть примет вид: $(-(2a - 3b))^2$.

Поскольку любое число в квадрате равно квадрату противоположного ему числа ($(-x)^2 = x^2$), то $(-(2a - 3b))^2 = (2a - 3b)^2$.

Таким образом, левая часть тождественно равна правой части для любых значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: является тождеством.

2) $(a - b)^3 = (b - a)^3$

Рассмотрим правую часть равенства. Вынесем -1 за скобки: $b - a = -(a - b)$.

Тогда правая часть примет вид: $(-(a - b))^3$.

Используя свойство нечетной степени $(-x)^3 = -x^3$, получаем: $(-(a - b))^3 = -(a - b)^3$.

Равенство принимает вид $(a - b)^3 = -(a - b)^3$. Оно выполняется только тогда, когда $(a - b)^3 = 0$, то есть при $a = b$. Так как равенство справедливо не для всех значений переменных, оно не является тождеством.

Например, если $a = 2$ и $b = 1$, то левая часть равна $(2 - 1)^3 = 1^3 = 1$, а правая часть равна $(1 - 2)^3 = (-1)^3 = -1$. $1 \ne -1$.

Ответ: не является тождеством.

3) $|a + 5| = a + 5$

По определению модуля, $|x| = x$ только в том случае, если $x \ge 0$.

Следовательно, данное равенство верно только при условии $a + 5 \ge 0$, то есть для $a \ge -5$.

Поскольку равенство выполняется не для всех значений $a$ (например, для $a = -6$ оно неверно: $|-6 + 5| = |-1| = 1$, а $-6 + 5 = -1$), оно не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

4) $|a - b| = |b - a|$

Выражения под знаком модуля являются противоположными числами: $b - a = -(a - b)$.

По свойству модуля, модули противоположных чисел равны: $|-x| = |x|$.

Следовательно, $|b - a| = |-(a - b)| = |a - b|$. Равенство выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: является тождеством.

5) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$

Для любого действительного числа $a$, его квадрат $a^2$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение в скобках $a^2 + 4$ всегда будет положительным, так как $a^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.

Модуль положительного числа равен самому числу. Таким образом, равенство верно для любых значений $a$.

Ответ: является тождеством.

6) $|a + b| = |a| + |b|$

Это равенство не всегда верно. Оно является частью неравенства треугольника $|a + b| \le |a| + |b|$. Равенство достигается только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (или одно из них равно нулю).

Чтобы показать, что это не тождество, достаточно привести контрпример. Пусть $a = 1$ и $b = -1$.

Левая часть: $|1 + (-1)| = |0| = 0$.

Правая часть: $|1| + |-1| = 1 + 1 = 2$.

Поскольку $0 \ne 2$, равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

7) $|a - 1| = |a| - 1$

Это равенство не является тождеством. Проверим его, подставив контрпример, например, $a = -1$.

Левая часть: $|-1 - 1| = |-2| = 2$.

Правая часть: $|-1| - 1 = 1 - 1 = 0$.

Поскольку $2 \ne 0$, равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

8) $a^2 - b^2 = (a - b)^2$

Это равенство не является тождеством. В левой части находится формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В правой части — квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Приравняв правые части этих формул, получим: $(a - b)(a + b) = a^2 - 2ab + b^2$. Это равенство не выполняется для всех $a$ и $b$.

Например, пусть $a = 3$ и $b = 1$.

Левая часть: $3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$.

Правая часть: $(3 - 1)^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку $8 \ne 4$, равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

215. Запишите в виде равенства утверждение:

1) сумма противоположных чисел равна нулю;

$a + (-a) = 0$

2) произведение данного числа и числа 1 равно 1;

$a \cdot 1 = 1$

3) произведение данного числа и числа $-1$ является число, противоположное данному;

$a \cdot (-1) = -a$

4) модули противоположных чисел равны;

$|a| = |-a|$

5) разность противоположных чисел равна нулю.

$a - (-a) = 0$

Какие из этих равенств являются тождествами?

1) сумма противоположных чисел равна нулю;

Пусть дано произвольное число $a$. Число, противоположное ему, это $-a$. Сумма этих чисел записывается как $a + (-a)$. Утверждение гласит, что эта сумма равна нулю. Таким образом, получаем равенство: $a + (-a) = 0$.
Это равенство является верным для любого числа $a$, так как $a + (-a) = a - a = 0$. Следовательно, это тождество.
Ответ: $a + (-a) = 0$.

2) произведение данного числа и числа 1 равно 1;

Пусть дано произвольное число $a$. Произведение этого числа и числа 1 равно $a \cdot 1$. Утверждение гласит, что это произведение равно 1. Получаем равенство: $a \cdot 1 = 1$, или $a = 1$.
Это равенство является верным только для одного значения $a=1$. Оно не выполняется для других чисел (например, если $a=5$, то $5 \cdot 1 = 5 \ne 1$). Следовательно, это не тождество.
Ответ: $a \cdot 1 = 1$.

3) произведением данного числа и числа –1 является число, противоположное данному;

Пусть дано произвольное число $a$. Произведение этого числа и числа –1 равно $a \cdot (-1)$. Число, противоположное данному, это $-a$. Утверждение гласит, что результат произведения равен противоположному числу. Получаем равенство: $a \cdot (-1) = -a$.
Это равенство является верным для любого числа $a$ по определению умножения на –1. Следовательно, это тождество.
Ответ: $a \cdot (-1) = -a$.

4) модули противоположных чисел равны;

Пусть дано произвольное число $a$. Его модуль равен $|a|$. Противоположное ему число равно $-a$, а его модуль — $|-a|$. Утверждение гласит, что модули этих чисел равны. Получаем равенство: $|a| = |-a|$.
Это равенство является верным для любого числа $a$, так как модуль числа определяет расстояние от нуля на координатной прямой, а числа $a$ и $-a$ всегда находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Следовательно, это тождество.
Ответ: $|a| = |-a|$.

5) разность противоположных чисел равна нулю.

Пусть дано произвольное число $a$. Противоположное ему число равно $-a$. Разность этих чисел (в указанном порядке) равна $a - (-a)$. Утверждение гласит, что эта разность равна нулю. Получаем равенство: $a - (-a) = 0$.
Упростим левую часть: $a - (-a) = a + a = 2a$. Таким образом, равенство можно записать как $2a = 0$. Это равенство верно только при $a=0$. Оно не выполняется для других чисел (например, если $a=3$, то $3 - (-3) = 6 \ne 0$). Следовательно, это не тождество.
Ответ: $a - (-a) = 0$.

Какие из этих равенств являются тождествами?

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Проанализировав полученные равенства, можно сделать вывод, что тождествами являются равенства, верные для любого числа $a$.
К таким равенствам относятся:
1) $a + (-a) = 0$
3) $a \cdot (-1) = -a$
4) $|a| = |-a|$
Равенства 2) $a = 1$ и 5) $a - (-a) = 0$ (или $2a=0$) не являются тождествами, так как они верны только для конкретных значений $a$ (1 и 0 соответственно), а не для всех.
Ответ: Тождествами являются равенства 1, 3, 4.

216. Докажите тождество:

1) $4(2-3m)-(6-m)-2(3m+4)=-17m-6;$

2) $a+b-10ab=2a(3-b)-3b(a-2)-5(ab+a+b);$

3) $6(5a-3)+(10-20a)-(6a-4)=5a-(3a-(2a-4)).$

1) Для доказательства тождества $4(2 - 3m) - (6 - m) - 2(3m + 4) = -17m - 6$ преобразуем (упростим) его левую часть.

Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные. Если перед скобкой стоит множитель, то каждое слагаемое в скобках умножается на этот множитель.

$4(2 - 3m) - (6 - m) - 2(3m + 4) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 3m - 6 + m - 2 \cdot 3m - 2 \cdot 4 = 8 - 12m - 6 + m - 6m - 8$

Теперь приведем подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью, и числовые слагаемые.

$(8 - 6 - 8) + (-12m + m - 6m) = -6 + (-12 + 1 - 6)m = -6 - 17m = -17m - 6$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой части: $-17m - 6 = -17m - 6$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $a + b - 10ab = 2a(3 - b) - 3b(a - 2) - 5(ab + a + b)$ преобразуем его правую часть.

Раскроем скобки в правой части выражения:

$2a(3 - b) - 3b(a - 2) - 5(ab + a + b) = 2a \cdot 3 - 2a \cdot b - 3b \cdot a - 3b \cdot (-2) - 5 \cdot ab - 5 \cdot a - 5 \cdot b = 6a - 2ab - 3ab + 6b - 5ab - 5a - 5b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6a - 5a) + (6b - 5b) + (-2ab - 3ab - 5ab) = a + b + (-2-3-5)ab = a + b - 10ab$

В результате преобразований правая часть тождества стала равна левой части: $a + b - 10ab = a + b - 10ab$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $6(5a - 3) + (10 - 20a) - (6a - 4) = 5a - (3a - (2a - 4))$ преобразуем обе его части по отдельности.

Упростим левую часть:

$6(5a - 3) + (10 - 20a) - (6a - 4) = 30a - 18 + 10 - 20a - 6a + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(30a - 20a - 6a) + (-18 + 10 + 4) = (30 - 26)a + (-4) = 4a - 4$

Теперь упростим правую часть. Начнем с раскрытия внутренних скобок:

$5a - (3a - (2a - 4)) = 5a - (3a - 2a + 4)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$5a - (a + 4)$

Раскроем оставшиеся скобки:

$5a - a - 4 = 4a - 4$

Обе части тождества равны одному и тому же выражению $4a - 4$.

Ответ: Тождество доказано.

217. Докажите тождество:

1) $(3m - 7) \cdot 0,6 - 0,8(4m - 5) - (-1,7 - 1,4m) = 1,5;$

2) $7a(3b + 4c) - 3a\left(b + \frac{1}{3}c\right) = 9a(2b + 3c).$

1)

Для доказательства тождества $(3m - 7) \cdot 0,6 - 0,8(4m - 5) - (-1,7 - 1,4m) = 1,5$ необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):

ЛЧ = $(3m - 7) \cdot 0,6 - 0,8(4m - 5) - (-1,7 - 1,4m)$

Сначала раскроем все скобки в выражении:

1. Умножим $(3m - 7)$ на $0,6$:
$(3m - 7) \cdot 0,6 = 3m \cdot 0,6 - 7 \cdot 0,6 = 1,8m - 4,2$

2. Умножим $(4m - 5)$ на $-0,8$:
$-0,8(4m - 5) = -0,8 \cdot 4m - 0,8 \cdot (-5) = -3,2m + 4$

3. Раскроем скобки перед $(-1,7 - 1,4m)$:
$-(-1,7 - 1,4m) = 1,7 + 1,4m$

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть:

ЛЧ = $1,8m - 4,2 - 3,2m + 4 + 1,7 + 1,4m$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

ЛЧ = $(1,8m - 3,2m + 1,4m) + (-4,2 + 4 + 1,7)$

Вычислим сумму коэффициентов при переменной $m$:

$1,8 - 3,2 + 1,4 = -1,4 + 1,4 = 0$

Вычислим сумму свободных членов:

$-4,2 + 4 + 1,7 = -0,2 + 1,7 = 1,5$

Таким образом, левая часть тождества равна $0 \cdot m + 1,5 = 1,5$.

Сравним результат с правой частью (ПЧ):

ЛЧ = $1,5$

ПЧ = $1,5$

Поскольку левая часть равна правой части ($1,5 = 1,5$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $7a(3b + 4c) - 3a(b + \frac{1}{3}c) = 9a(2b + 3c)$ преобразуем его левую часть до вида правой части.

Левая часть (ЛЧ): $7a(3b + 4c) - 3a(b + \frac{1}{3}c)$.

Шаг 1: Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения.

$7a(3b + 4c) = 7a \cdot 3b + 7a \cdot 4c = 21ab + 28ac$

$-3a(b + \frac{1}{3}c) = -3a \cdot b - 3a \cdot \frac{1}{3}c = -3ab - ac$

Шаг 2: Подставим раскрытые скобки в исходное выражение для левой части.

ЛЧ = $(21ab + 28ac) + (-3ab - ac) = 21ab + 28ac - 3ab - ac$

Шаг 3: Приведем подобные слагаемые.

ЛЧ = $(21ab - 3ab) + (28ac - ac) = 18ab + 27ac$

Шаг 4: Вынесем общий множитель за скобки. Наибольший общий делитель для $18ab$ и $27ac$ это $9a$.

ЛЧ = $9a \cdot 2b + 9a \cdot 3c = 9a(2b + 3c)$

Шаг 5: Сравним полученное выражение с правой частью (ПЧ) исходного тождества.

Преобразованная ЛЧ = $9a(2b + 3c)$

ПЧ = $9a(2b + 3c)$

Левая часть тождественно равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

218. Докажите, что не является тождеством равенство:

1) $(a+3)^2 = a^2+9;$

2) $(b-1)(b+1) = (b-1)b+1;$

3) $(c+1)^3 = c^3+1;$

4) $|m| - |n| = |n| - |m|.$

Чтобы доказать, что равенство $(a + 3)^2 = a^2 + 9$ не является тождеством, необходимо найти хотя бы одно значение переменной a, при котором оно не выполняется, или показать, что левая и правая части не равны в общем виде.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$(a + 3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$.
Теперь сравним преобразованную левую часть с правой частью исходного равенства:
$a^2 + 6a + 9 \neq a^2 + 9$ для большинства значений a.
Равенство $a^2 + 6a + 9 = a^2 + 9$ будет верным, только если $6a = 0$, то есть при $a = 0$.
Так как равенство выполняется не для всех возможных значений a, оно не является тождеством.
Приведем контрпример. Пусть $a = 1$.
Подставим это значение в левую часть: $(1 + 3)^2 = 4^2 = 16$.
Подставим это значение в правую часть: $1^2 + 9 = 1 + 9 = 10$.
Поскольку $16 \neq 10$, равенство неверно.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно не выполняется, например, при $a=1$.

Рассмотрим равенство $(b - 1)(b + 1) = (b - 1)b + 1$. Преобразуем обе части равенства.
Левую часть преобразуем по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:
$(b - 1)(b + 1) = b^2 - 1^2 = b^2 - 1$.
Правую часть преобразуем, раскрыв скобки:
$(b - 1)b + 1 = b \cdot b - 1 \cdot b + 1 = b^2 - b + 1$.
Сравним полученные выражения: $b^2 - 1$ и $b^2 - b + 1$.
Равенство $b^2 - 1 = b^2 - b + 1$ будет верным, только если $-1 = -b + 1$, что равносильно $b = 2$.
Поскольку равенство выполняется только при $b=2$, а не при всех значениях b, оно не является тождеством.
Приведем контрпример. Пусть $b = 3$.
Левая часть: $(3 - 1)(3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8$.
Правая часть: $(3 - 1) \cdot 3 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
Так как $8 \neq 7$, равенство неверно.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно не выполняется, например, при $b=3$.

Рассмотрим равенство $(c + 1)^3 = c^3 + 1$.
Преобразуем левую часть, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$(c + 1)^3 = c^3 + 3 \cdot c^2 \cdot 1 + 3 \cdot c \cdot 1^2 + 1^3 = c^3 + 3c^2 + 3c + 1$.
Сравним полученное выражение с правой частью: $c^3 + 3c^2 + 3c + 1$ и $c^3 + 1$.
Равенство $c^3 + 3c^2 + 3c + 1 = c^3 + 1$ будет верным, только если $3c^2 + 3c = 0$, или $3c(c+1) = 0$. Это уравнение имеет два корня: $c=0$ и $c=-1$.
Так как равенство выполняется не для всех значений c, оно не является тождеством.
Приведем контрпример. Пусть $c = 2$.
Левая часть: $(2 + 1)^3 = 3^3 = 27$.
Правая часть: $2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$.
Так как $27 \neq 9$, равенство неверно.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно не выполняется, например, при $c=2$.

Рассмотрим равенство $|m| - |n| = |n| - |m|$.
Перенесем члены с $|m|$ в левую часть, а члены с $|n|$ в правую:
$|m| + |m| = |n| + |n|$
$2|m| = 2|n|$
$|m| = |n|$
Это означает, что исходное равенство верно только для тех чисел m и n, модули которых равны. Тождество же должно выполняться для любых значений переменных.
Чтобы доказать, что это не тождество, достаточно привести пример, где $|m| \neq |n|$.
Приведем контрпример. Пусть $m = 3$ и $n = 1$.
Левая часть: $|3| - |1| = 3 - 1 = 2$.
Правая часть: $|1| - |3| = 1 - 3 = -2$.
Так как $2 \neq -2$, равенство неверно.
Ответ: Равенство не является тождеством, так как оно не выполняется, например, при $m=3$ и $n=1$.

219. Докажите, что не являются тождественно равными выражения:

1) $4 - m^2$ и $(2 - m)^2$;

2) $|-m|$ и $m$;

3) $m^3 + 8$ и $(m + 2)(m^2 + 4)$.

Чтобы доказать, что два выражения не являются тождественно равными, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором значения этих выражений не равны. Такой пример называется контрпримером.

1) $4 - m^2$ и $(2 - m)^2$

Для доказательства можно либо упростить одно из выражений и сравнить их, либо найти контрпример.

Способ 1: Упрощение.
Упростим второе выражение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2-m)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot m + m^2 = 4 - 4m + m^2$.
Сравниваем полученное выражение с первым: $4 - 4m + m^2$ и $4 - m^2$. Очевидно, что эти выражения не равны для всех $m$. Равенство $4 - 4m + m^2 = 4 - m^2$ выполняется только при $2m^2 - 4m = 0$, то есть при $m=0$ или $m=2$, но не для всех значений $m$.

Способ 2: Контрпример.
Подставим в оба выражения произвольное значение переменной $m$, например, $m = 1$.
Значение первого выражения: $4 - m^2 = 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.
Значение второго выражения: $(2 - m)^2 = (2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Поскольку $3 \neq 1$, значения выражений при $m=1$ не совпадают, следовательно, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=1$ их значения равны $3$ и $1$ соответственно.

2) $|-m|$ и $m$

По определению, модуль числа — это всегда неотрицательная величина, то есть $|-m| \ge 0$ для любого значения $m$. Выражение $m$ может принимать любые значения, включая отрицательные.
Найдём контрпример. Выберем любое отрицательное значение для $m$, например, $m = -5$.
Значение первого выражения: $|-m| = |-(-5)| = |5| = 5$.
Значение второго выражения: $m = -5$.
Поскольку $5 \neq -5$, значения выражений не совпадают. Следовательно, данные выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=-5$ их значения равны $5$ и $-5$ соответственно.

3) $m^3 + 8$ и $(m+2)(m^2 + 4)$

Для доказательства можно раскрыть скобки во втором выражении или найти контрпример.

Способ 1: Упрощение.
Раскроем скобки во втором выражении, выполнив умножение многочленов:
$(m+2)(m^2+4) = m \cdot m^2 + m \cdot 4 + 2 \cdot m^2 + 2 \cdot 4 = m^3 + 4m + 2m^2 + 8 = m^3 + 2m^2 + 4m + 8$.
Сравниваем полученное выражение с первым: $m^3 + 2m^2 + 4m + 8$ и $m^3 + 8$. Эти выражения не равны для всех $m$. (Напомним, что формула суммы кубов для первого выражения выглядит так: $m^3 + 8 = m^3 + 2^3 = (m+2)(m^2-2m+4)$).

Способ 2: Контрпример.
Подставим в оба выражения произвольное значение $m$, например, $m = 1$.
Значение первого выражения: $m^3 + 8 = 1^3 + 8 = 1 + 8 = 9$.
Значение второго выражения: $(m+2)(m^2+4) = (1+2)(1^2+4) = 3 \cdot (1+4) = 3 \cdot 5 = 15$.
Поскольку $9 \neq 15$, значения выражений при $m=1$ не совпадают, следовательно, выражения не являются тождественно равными.
Ответ: Выражения не являются тождественно равными, так как, например, при $m=1$ их значения равны $9$ и $15$ соответственно.

220. Дмитрий и Василий собирали грибы. Дмитрий собрал в 5 раз больше грибов, чем Василий. Какую часть всех грибов собрал Дмитрий?

Для решения этой задачи представим количество грибов в виде частей.

Пусть количество грибов, которое собрал Василий, составляет 1 часть.

Согласно условию, Дмитрий собрал в 5 раз больше грибов. Значит, количество грибов, которое собрал Дмитрий, составляет $1 \times 5 = 5$ частей.

Теперь найдем общее количество частей, которое составляют все собранные грибы. Для этого сложим части Василия и Дмитрия: $1 \text{ (часть Василия)} + 5 \text{ (частей Дмитрия)} = 6 \text{ (частей всего)}$.

Чтобы найти, какую часть всех грибов собрал Дмитрий, нужно количество его частей разделить на общее количество частей: $\frac{5}{6}$.

Ответ: Дмитрий собрал $\frac{5}{6}$ всех грибов.