Номер 214, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 214, страница 42.

Условие.

214. Какие из данных равенств являются тождествами:

1) $(2a - 3b)^2 = (3b - 2a)^2$;

2) $(a - b)^3 = (b - a)^3$;

3) $|a + 5| = a + 5$;

4) $|a - b| = |b - a|$;

5) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$;

6) $|a + b| = |a| + |b|$;

7) $|a - 1| = |a| - 1$;

8) $a^2 - b^2 = (a - b)^2$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(2a - 3b)^2 = (3b - 2a)^2$

Рассмотрим правую часть равенства. В выражении в скобках можно вынести знак минус: $3b - 2a = -(2a - 3b)$.

Тогда правая часть примет вид: $(-(2a - 3b))^2$.

Поскольку любое число в квадрате равно квадрату противоположного ему числа ($(-x)^2 = x^2$), то $(-(2a - 3b))^2 = (2a - 3b)^2$.

Таким образом, левая часть тождественно равна правой части для любых значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: является тождеством.

2) $(a - b)^3 = (b - a)^3$

Рассмотрим правую часть равенства. Вынесем -1 за скобки: $b - a = -(a - b)$.

Тогда правая часть примет вид: $(-(a - b))^3$.

Используя свойство нечетной степени $(-x)^3 = -x^3$, получаем: $(-(a - b))^3 = -(a - b)^3$.

Равенство принимает вид $(a - b)^3 = -(a - b)^3$. Оно выполняется только тогда, когда $(a - b)^3 = 0$, то есть при $a = b$. Так как равенство справедливо не для всех значений переменных, оно не является тождеством.

Например, если $a = 2$ и $b = 1$, то левая часть равна $(2 - 1)^3 = 1^3 = 1$, а правая часть равна $(1 - 2)^3 = (-1)^3 = -1$. $1 \ne -1$.

Ответ: не является тождеством.

3) $|a + 5| = a + 5$

По определению модуля, $|x| = x$ только в том случае, если $x \ge 0$.

Следовательно, данное равенство верно только при условии $a + 5 \ge 0$, то есть для $a \ge -5$.

Поскольку равенство выполняется не для всех значений $a$ (например, для $a = -6$ оно неверно: $|-6 + 5| = |-1| = 1$, а $-6 + 5 = -1$), оно не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

4) $|a - b| = |b - a|$

Выражения под знаком модуля являются противоположными числами: $b - a = -(a - b)$.

По свойству модуля, модули противоположных чисел равны: $|-x| = |x|$.

Следовательно, $|b - a| = |-(a - b)| = |a - b|$. Равенство выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: является тождеством.

5) $|a^2 + 4| = a^2 + 4$

Для любого действительного числа $a$, его квадрат $a^2$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение в скобках $a^2 + 4$ всегда будет положительным, так как $a^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.

Модуль положительного числа равен самому числу. Таким образом, равенство верно для любых значений $a$.

Ответ: является тождеством.

6) $|a + b| = |a| + |b|$

Это равенство не всегда верно. Оно является частью неравенства треугольника $|a + b| \le |a| + |b|$. Равенство достигается только тогда, когда $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (или одно из них равно нулю).

Чтобы показать, что это не тождество, достаточно привести контрпример. Пусть $a = 1$ и $b = -1$.

Левая часть: $|1 + (-1)| = |0| = 0$.

Правая часть: $|1| + |-1| = 1 + 1 = 2$.

Поскольку $0 \ne 2$, равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

7) $|a - 1| = |a| - 1$

Это равенство не является тождеством. Проверим его, подставив контрпример, например, $a = -1$.

Левая часть: $|-1 - 1| = |-2| = 2$.

Правая часть: $|-1| - 1 = 1 - 1 = 0$.

Поскольку $2 \ne 0$, равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

8) $a^2 - b^2 = (a - b)^2$

Это равенство не является тождеством. В левой части находится формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В правой части — квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Приравняв правые части этих формул, получим: $(a - b)(a + b) = a^2 - 2ab + b^2$. Это равенство не выполняется для всех $a$ и $b$.

Например, пусть $a = 3$ и $b = 1$.

Левая часть: $3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$.

Правая часть: $(3 - 1)^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку $8 \ne 4$, равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.