Номер 277, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 277, страница 51.

Условие.

277. Докажите, что значение выражения:

1) $101^{101} + 103^{103}$ делится нацело на 2;

2) $16^7 + 15^8 - 11^9$ делится нацело на 10;

3) $10^{10} - 7$ делится нацело на 3;

4) $6^n - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $101^{101} + 103^{103}$ делится нацело на 2: Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 2, необходимо показать, что оно является четным числом. Четность суммы зависит от четности слагаемых. Рассмотрим первое слагаемое: $101^{101}$. Основание степени, 101, является нечетным числом. Любая натуральная степень нечетного числа есть число нечетное. Следовательно, $101^{101}$ — нечетное число. Рассмотрим второе слагаемое: $103^{103}$. Основание степени, 103, также является нечетным числом. Следовательно, $103^{103}$ — это тоже нечетное число. Сумма двух нечетных чисел ($нечетное + нечетное$) всегда является четным числом. Таким образом, выражение $101^{101} + 103^{103}$ представляет собой сумму двух нечетных чисел, результат которой — четное число. Любое четное число делится нацело на 2.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) $16^7 + 15^8 - 11^9$ делится нацело на 10: Чтобы доказать, что значение выражения делится нацело на 10, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0. Для этого найдем последнюю цифру каждого из чисел в выражении. Последняя цифра числа $16^7$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также будет оканчиваться на 6. Таким образом, последняя цифра $16^7$ — это 6. Последняя цифра числа $15^8$: любая натуральная степень (больше 0) числа, оканчивающегося на 5, будет оканчиваться на 5. Таким образом, последняя цифра $15^8$ — это 5. Последняя цифра числа $11^9$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, будет оканчиваться на 1. Таким образом, последняя цифра $11^9$ — это 1. Теперь найдем последнюю цифру результата выражения, выполнив действия с последними цифрами: $...6 + ...5 - ...1$. Сложение $...6 + ...5$ дает число, оканчивающееся на 1 (так как $6+5=11$). Вычитание $...1 - ...1$ дает число, оканчивающееся на 0. Поскольку последняя цифра значения выражения $16^7 + 15^8 - 11^9$ равна 0, оно делится нацело на 10.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) $10^{10} - 7$ делится нацело на 3: Для доказательства воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Число $10^{10}$ — это единица с десятью нулями: $10\,000\,000\,000$. Выполним вычитание: $10^{10} - 7 = 10\,000\,000\,000 - 7 = 9\,999\,999\,993$. Теперь найдем сумму цифр полученного числа: $9 \cdot 9 + 3 = 81 + 3 = 84$. Проверим, делится ли полученная сумма (84) на 3. $84 \div 3 = 28$. Да, делится без остатка. Так как сумма цифр числа $10^{10} - 7$ делится на 3, то и само число делится нацело на 3.
Ответ: что и требовалось доказать.

4) $6^n - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении n: Чтобы доказать, что выражение делится нацело на 5, достаточно показать, что его значение всегда оканчивается на 0 или 5. Рассмотрим число $6^n$ для любого натурального $n$. Последняя цифра любой натуральной степени числа, оканчивающегося на 6, также равна 6. Например: $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$ и так далее. Таким образом, число $6^n$ всегда оканчивается на 6. Теперь рассмотрим выражение $6^n - 1$. Его последняя цифра будет равна разности последних цифр уменьшаемого ($6^n$) и вычитаемого (1). Получаем: $...6 - 1 = ...5$. Поскольку при любом натуральном $n$ значение выражения $6^n - 1$ оканчивается на 5, оно всегда делится нацело на 5.
Ответ: что и требовалось доказать.