Номер 270, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 270, страница 50.

Условие.

270. Докажите, что выражение $(x+1)^2 + |x|$ принимает только положительные значения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что выражение $(x+1)^2 + |x|$ принимает только положительные значения, необходимо показать, что $(x+1)^2 + |x| > 0$ для любого действительного числа $x$.

Для доказательства рассмотрим два возможных случая, основанных на определении модуля $|x|$.

Случай 1: $x \ge 0$

Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это в исходное выражение: $ (x+1)^2 + |x| = (x+1)^2 + x $

Раскроем скобки и упростим: $ (x^2 + 2x + 1) + x = x^2 + 3x + 1 $

Проанализируем полученное выражение $x^2 + 3x + 1$ при условии $x \ge 0$. Поскольку $x \ge 0$, то каждое слагаемое неотрицательно: $x^2 \ge 0$ и $3x \ge 0$. Следовательно, их сумма с единицей будет строго положительной: $ x^2 + 3x + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1 $. Таким образом, в этом случае выражение всегда больше или равно 1, а значит, строго положительно.

Случай 2: $x < 0$

Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это в исходное выражение: $ (x+1)^2 + |x| = (x+1)^2 - x $

Раскроем скобки и упростим: $ (x^2 + 2x + 1) - x = x^2 + x + 1 $

Рассмотрим полученный квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Чтобы определить знак этого трехчлена, найдем его дискриминант $D$: $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 $

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$. Следовательно, он будет положительным и для всех $x < 0$.

Мы рассмотрели все возможные действительные значения $x$ и в каждом случае получили, что выражение $(x+1)^2 + |x|$ строго положительно.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $(x+1)^2 + |x|$ всегда положительно, так как при $x \ge 0$ его значение не меньше 1, а при $x < 0$ оно равно квадратному трехчлену $x^2+x+1$, который всегда положителен (так как его дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен).