Номер 271, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 271, страница 50.

Условие.

271. Докажите, что не имеет положительных корней уравнение:

1) $2x^2 + 5x + 2 = 0;$

2) $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $2x^2 + 5x + 2 = 0$

Чтобы доказать, что данное уравнение не имеет положительных корней, рассмотрим его левую часть при условии, что переменная $x$ принимает положительные значения.

Пусть $x$ – любое положительное число, то есть $x > 0$.

Проанализируем каждый член выражения $2x^2 + 5x + 2$:

Первый член, $2x^2$: поскольку $x > 0$, то и $x^2 > 0$. Умножение положительного числа $x^2$ на положительное число 2 даёт в результате положительное число, то есть $2x^2 > 0$.

Второй член, $5x$: поскольку $x > 0$, произведение $5x$ также будет положительным, то есть $5x > 0$.

Третий член, $2$, является положительной константой.

Таким образом, левая часть уравнения, $2x^2 + 5x + 2$, представляет собой сумму трех строго положительных слагаемых. Сумма положительных чисел всегда является положительным числом. В данном случае, $2x^2 + 5x + 2 > 0 + 0 + 2 = 2$.

Поскольку для любого $x > 0$ значение выражения $2x^2 + 5x + 2$ строго больше нуля, оно не может равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что уравнение $2x^2 + 5x + 2 = 0$ не имеет положительных корней, так как для любого $x > 0$ левая часть уравнения строго больше нуля.

2) $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0$

Для доказательства воспользуемся аналогичным методом. Рассмотрим левую часть уравнения при условии, что $x > 0$.

Пусть $x$ – любое положительное число, то есть $x > 0$.

Проанализируем каждый член многочлена $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1$:

- Член $x^4$: если $x > 0$, то любая его натуральная степень, включая четвертую, будет положительной, то есть $x^4 > 0$.

- Член $3x^3$: если $x > 0$, то $x^3 > 0$, и следовательно произведение $3x^3 > 0$.

- Член $4x^2$: если $x > 0$, то $x^2 > 0$, и следовательно произведение $4x^2 > 0$.

- Член $3x$: если $x > 0$, то произведение $3x > 0$.

- Член $1$ является положительной константой.

Все слагаемые в левой части уравнения являются строго положительными при $x > 0$. Сумма нескольких положительных чисел всегда является положительным числом. В данном случае, $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 > 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.

Поскольку для любого $x > 0$ значение выражения $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1$ строго больше нуля, оно не может равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что уравнение $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0$ не имеет положительных корней, так как для любого $x > 0$ левая часть уравнения строго больше нуля.