Номер 269, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 269, страница 50.

Условие.

269. Докажите, что выражение $x^2 + (x-1)^2$ принимает только положительные значения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что выражение $x^2 + (x-1)^2$ принимает только положительные значения, можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Анализ квадратичной функции

Сначала преобразуем данное выражение, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (x-1)^2 = x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 2x + 1$

Мы получили квадратичный трехчлен $2x^2 - 2x + 1$. Значения этого выражения совпадают со значениями квадратичной функции $f(x) = 2x^2 - 2x + 1$. Графиком этой функции является парабола.

1. Старший коэффициент $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения $2x^2 - 2x + 1 = 0$ нет действительных корней. Это означает, что график функции (парабола) не пересекает и не касается оси абсцисс ($Ox$).

Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью $Ox$, вся парабола целиком лежит в верхней полуплоскости, то есть все ее значения строго положительны.
Наименьшее значение функция принимает в вершине параболы: $y_{верш} = -\frac{D}{4a} = -\frac{-4}{4 \cdot 2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Поскольку наименьшее значение выражения равно $\frac{1}{2}$, а $\frac{1}{2} > 0$, то выражение всегда положительно.

Способ 2: Анализ свойств слагаемых

Рассмотрим исходное выражение $x^2 + (x-1)^2$. Оно состоит из двух слагаемых.

1. Слагаемое $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

2. Слагаемое $(x-1)^2$ также является квадратом, поэтому оно тоже неотрицательно: $(x-1)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательной. Равенство нулю возможно только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

Проверим, могут ли они быть равны нулю одновременно:
$x^2 = 0 \implies x = 0$
$(x-1)^2 = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$

Так как $x$ не может одновременно быть равным $0$ и $1$, эти два слагаемых никогда не обращаются в ноль одновременно. Хотя бы одно из них всегда строго положительно.

Следовательно, сумма $x^2 + (x-1)^2$ всегда является строго положительным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $x^2 + (x-1)^2$ всегда принимает значения больше нуля при любом действительном $x$.