Номер 272, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 272, страница 50.

Условие.

272. Докажите, что не имеет отрицательных корней уравнение:

1) $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5 = 0;$

2) $x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Рассмотрим уравнение $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5 = 0$.
Для доказательства того, что у него нет отрицательных корней, предположим, что существует отрицательный корень $x < 0$.
Проанализируем знаки каждого слагаемого в левой части уравнения при $x < 0$:
- Слагаемое $x^4$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^4$ всегда положительно ($x^4 > 0$).
- Слагаемое $-5x^3$: так как $x < 0$, то $x^3 < 0$. Умножая на отрицательное число $-5$, получаем $-5x^3 > 0$.
- Слагаемое $6x^2$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^2 > 0$. Следовательно, $6x^2 > 0$.
- Слагаемое $-7x$: так как $x < 0$, умножение на $-7$ дает $-7x > 0$.
- Слагаемое $5$: это положительная константа, $5 > 0$.
Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма положительных чисел всегда положительна. Следовательно, для любого $x < 0$ выражение $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 7x + 5$ будет строго больше нуля и никогда не сможет равняться нулю.
Это доказывает, что у уравнения нет отрицательных корней.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет отрицательных корней.

2)

Рассмотрим уравнение $x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x$.
Для доказательства того, что у него нет отрицательных корней, предположим, что существует отрицательный корень $x < 0$.
Проанализируем знаки левой и правой частей уравнения при $x < 0$.
Левая часть: $x^8 + x^4 + 1$
- $x^8$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^8 > 0$.
- $x^4$: так как $x$ возводится в четную степень, $x^4 > 0$.
- $1$: положительная константа.
Сумма трех положительных слагаемых является положительным числом. Значит, левая часть уравнения всегда больше нуля: $x^8 + x^4 + 1 > 0$.
Правая часть: $x^7 + x^3 + x$
- $x^7$: так как $x < 0$ и степень нечетная, $x^7 < 0$.
- $x^3$: так как $x < 0$ и степень нечетная, $x^3 < 0$.
- $x$: по предположению, $x < 0$.
Сумма трех отрицательных слагаемых является отрицательным числом. Значит, правая часть уравнения всегда меньше нуля: $x^7 + x^3 + x < 0$.
Получаем, что для любого отрицательного $x$ левая часть уравнения (положительная) должна быть равна правой части (отрицательной). Положительное число не может равняться отрицательному.
Следовательно, равенство $x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x$ невозможно при $x < 0$.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет отрицательных корней.