Номер 268, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 268, страница 50.

Условие.

268. При каких натуральных значениях $m$ верно неравенство

$0,07 < 0,4^m < 0,5?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Требуется найти все натуральные значения m, для которых выполняется двойное неравенство $0,07 < 0,4^m < 0,5$.

Поскольку m — это натуральное число ($m \in \{1, 2, 3, ...\}$), мы можем решить задачу, последовательно проверяя значения m, начиная с 1. Рассмотрим показательную функцию $y(m) = 0,4^m$. Так как основание степени $0,4$ меньше 1 и больше 0, функция является монотонно убывающей. Это означает, что с увеличением натурального показателя m значение выражения $0,4^m$ будет уменьшаться.

Проверим первые несколько натуральных значений m:

• При $m = 1$:
  $0,4^1 = 0,4$.
  Подставим это значение в неравенство: $0,07 < 0,4 < 0,5$. Неравенство верное. Значит, $m=1$ является решением.
• При $m = 2$:
  $0,4^2 = 0,16$.
  Подставим это значение в неравенство: $0,07 < 0,16 < 0,5$. Неравенство верное. Значит, $m=2$ является решением.
• При $m = 3$:
  $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4^2 = 0,4 \cdot 0,16 = 0,064$.
  Подставим это значение в неравенство: $0,07 < 0,064 < 0,5$. Левая часть этого двойного неравенства, $0,07 < 0,064$, неверна. Значит, $m=3$ не является решением.

Поскольку функция $y = 0,4^m$ убывающая, для любого натурального $m \ge 3$ значение $0,4^m$ будет еще меньше, чем $0,4^3=0,064$. Следовательно, $0,4^m \le 0,064 < 0,07$. Это означает, что для $m \ge 3$ левая часть исходного неравенства $0,07 < 0,4^m$ выполняться не будет.

Таким образом, неравенство верно только при натуральных значениях $m=1$ и $m=2$.

Ответ: 1, 2.