Номер 275, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 275, страница 50.

Условие.

275. При каком значении переменной данное выражение принимает наименьшее значение:

1) $x^2 + 7;$

2) $(x - 1)^4 + 16?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы найти, при каком значении переменной выражение $x^2 + 7$ принимает наименьшее значение, проанализируем его структуру. Выражение состоит из двух слагаемых: переменного слагаемого $x^2$ и постоянного слагаемого $7$.
Поскольку $7$ — это константа, значение всего выражения зависит только от значения слагаемого $x^2$.
Свойство квадрата любого действительного числа заключается в том, что он всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Наименьшее возможное значение для $x^2$ равно $0$.
Это наименьшее значение достигается, когда $x = 0$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения $x^2 + 7$ будет достигнуто при $x = 0$ и будет равно $0^2 + 7 = 7$.
Ответ: $x = 0$.

2) Теперь рассмотрим выражение $(x - 1)^4 + 16$. Аналогично первому случаю, это выражение является суммой двух слагаемых: $(x - 1)^4$ и $16$.
Слагаемое $16$ — это константа. Значение всего выражения определяется слагаемым $(x - 1)^4$.
Выражение $(x - 1)$ возводится в четвертую степень. Так как степень четная ($4$), результат всегда будет неотрицательным: $(x - 1)^4 \ge 0$.
Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x - 1)^4$, равно $0$.
Это значение достигается тогда, когда основание степени равно нулю: $x - 1 = 0$
Отсюда находим $x$: $x = 1$
Таким образом, выражение $(x - 1)^4 + 16$ принимает свое наименьшее значение при $x = 1$. Это значение равно $(1 - 1)^4 + 16 = 0^4 + 16 = 16$.
Ответ: $x = 1$.