Номер 278, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 278, страница 51.

Условие.

278. Докажите, что значение выражения:

1) $10^{100} + 8$ делится нацело на 9;

2) $111^n - 6$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для доказательства того, что выражение $10^{100} + 8$ делится нацело на 9, воспользуемся признаком делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Рассмотрим число $10^{100}$. Это число представляет собой единицу, за которой следуют 100 нулей: $1\underbrace{00...0}_{100}$.
Теперь рассмотрим число $10^{100} + 8$. Оно будет выглядеть так: $1\underbrace{00...0}_{99}8$. То есть, это число состоит из цифры 1, затем 99 нулей и на конце цифры 8.
Найдем сумму цифр этого числа: $1 + 99 \cdot 0 + 8 = 1 + 0 + 8 = 9$.
Сумма цифр числа $10^{100} + 8$ равна 9. Так как 9 делится нацело на 9, то и само число $10^{100} + 8$ делится нацело на 9, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Для доказательства того, что выражение $111^n - 6$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$, воспользуемся признаком делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра - 0 или 5.
Рассмотрим, на какую цифру оканчивается число $111^n$ при любом натуральном $n$.
Последняя цифра степени числа определяется последней цифрой основания. Основание равно 111, его последняя цифра - 1.
При возведении числа, оканчивающегося на 1, в любую натуральную степень, результат также будет оканчиваться на 1. Например: $111^1 = 111$, $111^2 = 12321$, $111^3 = 1367631$ и так далее. Таким образом, число $111^n$ всегда оканчивается на цифру 1.
Теперь рассмотрим выражение $111^n - 6$. Мы вычитаем 6 из числа, которое оканчивается на 1. При вычитании 6 из числа, оканчивающегося на 1, результат всегда будет оканчиваться на 5 (например, $11 - 6 = 5$, $21 - 6 = 15$, $101 - 6 = 95$).
Следовательно, число $111^n - 6$ при любом натуральном $n$ оканчивается на 5. Согласно признаку делимости на 5, такое число всегда делится нацело на 5, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.