Номер 289, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 7. Свойства степени с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 289, страница 56.

Условие.

289. Замените звёздочку такой степенью с основанием $a$, чтобы образовалось верное равенство:

1) $a^6 \cdot * = a^{14}$

2) $* \cdot a^6 = a^7$

3) $a^{10} \cdot * \cdot a^2 = a^{18}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а основание остается прежним.

1) Рассматриваем равенство: $a^6 \cdot * = a^{14}$.

Обозначим искомую степень (звёздочку) как $a^x$. Тогда равенство примет вид: $a^6 \cdot a^x = a^{14}$.

Применяя свойство умножения степеней к левой части, получаем: $a^{6+x} = a^{14}$.

Так как основания степеней в обеих частях равенства одинаковы, для сохранения равенства их показатели также должны быть равны:

$6 + x = 14$

Чтобы найти $x$, вычтем 6 из обеих частей уравнения:

$x = 14 - 6$

$x = 8$

Следовательно, звёздочку нужно заменить на $a^8$.

Проверка: $a^6 \cdot a^8 = a^{6+8} = a^{14}$. Равенство верно.

Ответ: $a^8$

2) Рассматриваем равенство: $* \cdot a^6 = a^7$.

Обозначим искомую степень как $a^x$. Равенство примет вид: $a^x \cdot a^6 = a^7$.

Применяя свойство умножения степеней, получаем: $a^{x+6} = a^7$.

Приравниваем показатели степеней:

$x + 6 = 7$

Находим $x$:

$x = 7 - 6$

$x = 1$

Следовательно, звёздочку нужно заменить на $a^1$.

Проверка: $a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$. Равенство верно.

Ответ: $a^1$

3) Рассматриваем равенство: $a^{10} \cdot * \cdot a^2 = a^{18}$.

Обозначим искомую степень как $a^x$. Равенство примет вид: $a^{10} \cdot a^x \cdot a^2 = a^{18}$.

Применяя свойство умножения степеней к левой части, мы можем сложить все показатели: $a^{10+x+2} = a^{18}$.

Упростим показатель в левой части: $a^{12+x} = a^{18}$.

Приравниваем показатели степеней:

$12 + x = 18$

Находим $x$:

$x = 18 - 12$

$x = 6$

Следовательно, звёздочку нужно заменить на $a^6$.

Проверка: $a^{10} \cdot a^6 \cdot a^2 = a^{10+6+2} = a^{18}$. Равенство верно.

Ответ: $a^6$