Страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

178. В одном контейнере было в 3 раза больше угля, чем в другом. Когда из первого контейнера пересыпали 300 кг угля во второй контейнер, то масса угля в первом контейнере составила $60\%$ массы угля во втором. Сколько килограммов угля было в каждом контейнере сначала?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — это начальная масса угля во втором контейнере. По условию, в первом контейнере было в 3 раза больше угля, следовательно, его начальная масса составляла $3x$ кг.

Далее, из первого контейнера пересыпали 300 кг угля. Масса угля в нем стала $(3x - 300)$ кг.

Во второй контейнер, соответственно, добавили 300 кг угля, и его масса стала $(x + 300)$ кг.

После этих изменений масса угля в первом контейнере составила 60% от массы угля во втором. Выразим 60% в виде десятичной дроби: $60\% = 0.6$.

Теперь мы можем составить уравнение на основе этого соотношения:

$3x - 300 = 0.6 \cdot (x + 300)$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Раскроем скобки в правой части:

$3x - 300 = 0.6x + 180$

2. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой:

$3x - 0.6x = 180 + 300$

$2.4x = 480$

3. Найдем значение $x$:

$x = \frac{480}{2.4}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{4800}{24}$

$x = 200$

Итак, мы нашли, что начальная масса угля во втором контейнере была 200 кг.

Теперь вычислим начальную массу угля в первом контейнере:

$3x = 3 \cdot 200 = 600$ кг.

Выполним проверку:
Начальные условия: в первом контейнере 600 кг, во втором 200 кг. $600 = 3 \cdot 200$. Условие выполняется.
После пересыпания: в первом контейнере стало $600 - 300 = 300$ кг, а во втором — $200 + 300 = 500$ кг.
Проверим соотношение: $\frac{300}{500} = 0.6$, что соответствует 60%. Условие выполняется.

Ответ: сначала в первом контейнере было 600 кг угля, а во втором — 200 кг.

179. Одному рабочему надо было изготовить 90 деталей, а другому – 60. Первый рабочий ежедневно изготавливал 4 детали, а второй – 5 деталей. Через сколько дней первому рабочему останется изготовить в 2 раза больше деталей, чем второму, если они начали работать в один день?

Для решения задачи введем переменную.

180. В одной цистерне было 200 л воды, а в другой – 640 л. Когда из второй цистерны использовали в 2 раза больше воды, чем из первой, то во второй осталось в 3,5 раза больше воды, чем в первой. Сколько литров воды использовали из каждой цистерны?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ литров воды использовали из первой цистерны.

По условию, из второй цистерны использовали в 2 раза больше воды, чем из первой. Значит, из второй цистерны использовали $2x$ литров воды.

Первоначально в первой цистерне было 200 л воды. После того как из неё взяли $x$ л, в ней осталось $(200 - x)$ л воды.

Первоначально во второй цистерне было 640 л воды. После того как из неё взяли $2x$ л, в ней осталось $(640 - 2x)$ л воды.

В условии сказано, что после этого во второй цистерне осталось в 3,5 раза больше воды, чем в первой. Это можно записать в виде уравнения:

$640 - 2x = 3.5 \cdot (200 - x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$640 - 2x = 3.5 \cdot 200 - 3.5 \cdot x$

$640 - 2x = 700 - 3.5x$

Перенесём все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$3.5x - 2x = 700 - 640$

Упростим обе части уравнения:

$1.5x = 60$

Теперь найдём $x$:

$x = \frac{60}{1.5}$

$x = 40$

Таким образом, из первой цистерны использовали 40 литров воды.

Теперь найдем, сколько литров воды использовали из второй цистерны:

$2x = 2 \cdot 40 = 80$ литров.

Проверка:

1. Количество воды, оставшейся в первой цистерне: $200 - 40 = 160$ л.

2. Количество воды, оставшейся во второй цистерне: $640 - 80 = 560$ л.

3. Проверим соотношение: $\frac{560}{160} = 3.5$. Соотношение верное.

Ответ: из первой цистерны использовали 40 литров воды, а из второй — 80 литров.

181. Из двух городов, расстояние между которыми равно $385 \text{ км}$, выехали навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили. Легковой автомобиль ехал со скоростью $80 \text{ км/ч}$, а грузовой – $50 \text{ км/ч}$. Сколько времени ехал до встречи каждый из них, если грузовой автомобиль выехал на $4 \text{ ч}$ позже легкового?

Для решения задачи выполним следующие действия.

1. Сначала найдем расстояние, которое легковой автомобиль проехал за 4 часа, пока грузовой автомобиль еще не начал движение. Для этого умножим скорость легкового автомобиля на время.

$S_1 = 80 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 320$ км.

2. Теперь определим, какое расстояние осталось между автомобилями к моменту выезда грузовика. Для этого вычтем из общего расстояния то, что уже проехал легковой автомобиль.

$S_2 = 385 \text{ км} - 320 \text{ км} = 65$ км.

3. Далее автомобили начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Найдем их скорость сближения, которая равна сумме их скоростей.

$v_{сбл} = 80 \text{ км/ч} + 50 \text{ км/ч} = 130$ км/ч.

4. Теперь мы можем найти время, за которое автомобили встретились, проехав вместе оставшиеся 65 км. Это время будет равно времени, которое находился в пути грузовой автомобиль.

$t_г = \frac{S_2}{v_{сбл}} = \frac{65 \text{ км}}{130 \text{ км/ч}} = 0,5$ часа.

5. Время, которое ехал до встречи легковой автомобиль, на 4 часа больше, так как он выехал раньше.

$t_л = t_г + 4 \text{ ч} = 0,5 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 4,5$ часа.

Ответ: легковой автомобиль ехал до встречи 4,5 часа, а грузовой автомобиль — 0,5 часа.

182. Из первого села во второе вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$, а че-рез $1,5 \text{ ч}$ после этого из второго села навстречу ему выехала велосипедистка со скоростью $16 \text{ км/ч}$. Через сколько минут после выезда велосипедистка встретилась с пешеходом, если расстояние между сёлами равно $14 \text{ км}$?

Для решения задачи первым шагом определим расстояние, которое пешеход прошел за 1,5 часа до выезда велосипедистки. Скорость пешехода составляет 4 км/ч.
Расстояние вычисляется по формуле $S = v \times t$:
$S_1 = 4 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 6 \text{ км}$.
Следовательно, к моменту, когда велосипедистка начала движение, пешеход уже прошел 6 км.

Далее найдем расстояние, которое разделяло пешехода и велосипедистку в момент ее выезда. Общее расстояние между селами составляет 14 км. Вычтем из него расстояние, пройденное пешеходом:
$S_2 = 14 \text{ км} - S_1 = 14 \text{ км} - 6 \text{ км} = 8 \text{ км}$.
Это расстояние они должны были преодолеть, двигаясь навстречу друг другу.

Поскольку они движутся навстречу, их скорости складываются. Вычислим их общую скорость сближения.
Скорость пешехода $v_п = 4 \text{ км/ч}$.
Скорость велосипедистки $v_в = 16 \text{ км/ч}$.
Скорость сближения: $v_{сбл} = v_п + v_в = 4 \text{ км/ч} + 16 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.

Зная расстояние между ними (8 км) и скорость их сближения (20 км/ч), можем найти время до встречи $t_{встр}$. Это время отсчитывается с момента выезда велосипедистки.
$t_{встр} = \frac{S_2}{v_{сбл}} = \frac{8 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 0,4 \text{ часа}$.

В условии задачи требуется указать ответ в минутах. Переведем 0,4 часа в минуты, умножив на 60 (так как в 1 часе 60 минут).
$0,4 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 24 \text{ минуты}$.

Ответ: через 24 минуты после выезда велосипедистка встретилась с пешеходом.

183. Расстояние между двумя городами по реке на 55 км меньше, чем по шоссе. Расстояние между городами теплоход проходит по реке за 6 ч, а автобус проезжает по шоссе – за 3 ч 30 мин. Найдите скорости автобуса и теплохода, если скорость теплохода на 30 км/ч меньше скорости автобуса.

Решение

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_а$ — скорость автобуса в км/ч, а $v_т$ — скорость теплохода в км/ч.

Согласно условию, скорость теплохода на 30 км/ч меньше скорости автобуса. Это можно записать в виде уравнения:
$v_т = v_а - 30$

Теперь выразим расстояния, которые проезжают автобус и теплоход, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$.

Время в пути для автобуса составляет 3 часа 30 минут, что равно $3.5$ часа. Расстояние, которое проезжает автобус по шоссе ($S_ш$), равно:
$S_ш = v_а \cdot 3.5$

Время в пути для теплохода составляет 6 часов. Расстояние, которое проходит теплоход по реке ($S_р$), равно:
$S_р = v_т \cdot 6$

Из условия известно, что расстояние по реке на 55 км меньше, чем по шоссе. Составим уравнение, связывающее расстояния:
$S_р = S_ш - 55$

Подставим выражения для $S_р$ и $S_ш$ в это уравнение:
$v_т \cdot 6 = (v_а \cdot 3.5) - 55$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
1) $v_т = v_а - 30$
2) $6v_т = 3.5v_а - 55$

Подставим выражение для $v_т$ из первого уравнения во второе:
$6(v_а - 30) = 3.5v_а - 55$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение относительно $v_а$:
$6v_а - 180 = 3.5v_а - 55$

Перенесем слагаемые с переменной $v_а$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:
$6v_а - 3.5v_а = 180 - 55$
$2.5v_а = 125$

Найдем скорость автобуса:
$v_а = \frac{125}{2.5}$
$v_а = 50$ (км/ч)

Теперь, зная скорость автобуса, найдем скорость теплохода, используя первое уравнение системы:
$v_т = v_а - 30$
$v_т = 50 - 30$
$v_т = 20$ (км/ч)

Ответ: скорость автобуса — 50 км/ч, скорость теплохода — 20 км/ч.

184. Теплоход прошёл $4 \text{ ч}$ по течению реки и $3 \text{ ч}$ против течения. Путь, пройденный теплоходом по течению, на $48 \text{ км}$ больше пути против течения. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения равна $2,5 \text{ км/ч}$.

Для решения этой задачи составим уравнение, используя основные формулы движения по воде.

Обозначим собственную скорость теплохода (скорость в стоячей воде) за $x$ км/ч.

Из условия известно, что скорость течения реки равна $2,5$ км/ч.

Скорость теплохода при движении по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (x + 2,5)$ км/ч.

Скорость теплохода при движении против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (x - 2,5)$ км/ч.

Расстояние, которое теплоход прошёл по течению за 4 часа, можно найти по формуле $S = v \cdot t$:

$S_{по} = 4 \cdot (x + 2,5)$ км.

Расстояние, которое теплоход прошёл против течения за 3 часа:

$S_{против} = 3 \cdot (x - 2,5)$ км.

В условии сказано, что путь, пройденный по течению, на 48 км больше пути против течения. На основе этого составим уравнение:

$S_{по} - S_{против} = 48$

$4(x + 2,5) - 3(x - 2,5) = 48$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$4x + 4 \cdot 2,5 - 3x - 3 \cdot (-2,5) = 48$

$4x + 10 - 3x + 7,5 = 48$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(4x - 3x) + (10 + 7,5) = 48$

$x + 17,5 = 48$

Найдём $x$:

$x = 48 - 17,5$

$x = 30,5$

Следовательно, скорость теплохода в стоячей воде составляет $30,5$ км/ч.

Проверим решение:

Путь по течению: $S_{по} = 4 \cdot (30,5 + 2,5) = 4 \cdot 33 = 132$ км.

Путь против течения: $S_{против} = 3 \cdot (30,5 - 2,5) = 3 \cdot 28 = 84$ км.

Разница в расстоянии: $132 - 84 = 48$ км.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: $30,5$ км/ч.

185. Турист плыл $5 \text{ ч}$ на плоту по течению реки и $1,5 \text{ ч}$ на моторной лодке против течения. Скорость лодки в стоячей воде равна $24 \text{ км/ч}$. Найдите скорость течения, если против течения турист проплыл на $23 \text{ км}$ больше, чем по течению.

Для решения этой задачи давайте обозначим неизвестную скорость течения реки как $x$ км/ч.

1. Расстояние, пройденное по течению на плоту.

Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного мотора. Поэтому скорость движения плота по течению составляет $x$ км/ч. Турист плыл на плоту 5 часов. За это время он проплыл расстояние $S_1$, которое рассчитывается по формуле $S = v \cdot t$:

$S_1 = x \cdot 5 = 5x$ км.

2. Расстояние, пройденное против течения на моторной лодке.

Собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде) равна 24 км/ч. При движении против течения, течение замедляет лодку, поэтому ее скорость будет равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\;течения} = 24 - x$ км/ч.

Турист плыл на лодке 1,5 часа. За это время он проплыл расстояние $S_2$:

$S_2 = (24 - x) \cdot 1,5$ км.

3. Составление и решение уравнения.

По условию задачи, расстояние, которое турист проплыл против течения ($S_2$), на 23 км больше, чем расстояние, которое он проплыл по течению ($S_1$). Это можно записать в виде уравнения:

$S_2 = S_1 + 23$

Подставим в это уравнение выражения для $S_1$ и $S_2$:

$(24 - x) \cdot 1,5 = 5x + 23$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$.

Раскроем скобки в левой части:

$24 \cdot 1,5 - x \cdot 1,5 = 5x + 23$

$36 - 1,5x = 5x + 23$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую, чтобы собрать вместе подобные члены:

$36 - 23 = 5x + 1,5x$

Упростим обе части уравнения:

$13 = 6,5x$

Чтобы найти $x$, разделим 13 на 6,5:

$x = \frac{13}{6,5}$

$x = 2$

Следовательно, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Проверим полученный результат:

• Расстояние по течению: $5 \text{ ч} \cdot 2 \text{ км/ч} = 10$ км.
• Скорость против течения: $24 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 22$ км/ч.
• Расстояние против течения: $1,5 \text{ ч} \cdot 22 \text{ км/ч} = 33$ км.
• Разница расстояний: $33 \text{ км} - 10 \text{ км} = 23$ км.

Результат проверки соответствует условию задачи.

Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.

186. В двух ящиках было 55 кг печенья. Когда из первого ящика переложили во второй $\frac{1}{3}$ массы содержащегося в нём печенья, то в первом ящике осталось на 5 кг больше печенья, чем стало во втором. Сколько килограммов печенья было в каждом ящике сначала?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — начальная масса печенья в первом ящике (в кг), а $y$ — начальная масса печенья во втором ящике (в кг).

1. Составление уравнений

Из условия известно, что суммарная масса печенья в двух ящиках составляла 55 кг. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 55$

Далее, из первого ящика переложили во второй $\frac{1}{3}$ массы содержащегося в нём печенья. Количество переложенного печенья равно $\frac{1}{3}x$ кг.

После этого масса печенья в первом ящике стала:

$x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$

А масса печенья во втором ящике стала:

$y + \frac{1}{3}x$

По условию, после перекладывания в первом ящике осталось на 5 кг больше печенья, чем стало во втором. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{2}{3}x = \left(y + \frac{1}{3}x\right) + 5$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 55 \\ \frac{2}{3}x = y + \frac{1}{3}x + 5 \end{cases}$

2. Решение системы уравнений

Сначала упростим второе уравнение, перенеся член с $x$ в левую часть:

$\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x = y + 5$

$\frac{1}{3}x = y + 5$

Теперь у нас есть упрощенная система:

$\begin{cases} x + y = 55 \\ \frac{1}{3}x = y + 5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 55 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = (55 - x) + 5$

$\frac{1}{3}x = 60 - x$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$\frac{1}{3}x + x = 60$

$\frac{4}{3}x = 60$

$x = 60 \cdot \frac{3}{4}$

$x = 45$

Итак, в первом ящике изначально было 45 кг печенья.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 55 - x$:

$y = 55 - 45$

$y = 10$

Следовательно, во втором ящике изначально было 10 кг печенья.

3. Проверка

Изначально: в первом ящике 45 кг, во втором 10 кг. Всего $45 + 10 = 55$ кг. Верно.

Переложили из первого ящика: $\frac{1}{3} \cdot 45 = 15$ кг.

Осталось в первом ящике: $45 - 15 = 30$ кг.

Стало во втором ящике: $10 + 15 = 25$ кг.

Разница: $30 - 25 = 5$ кг. В первом ящике стало на 5 кг больше. Верно.

Ответ: в первом ящике изначально было 45 кг печенья, а во втором — 10 кг.