Номер 186, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 186, страница 32.

Условие.

186. В двух ящиках было 55 кг печенья. Когда из первого ящика переложили во второй $\frac{1}{3}$ массы содержащегося в нём печенья, то в первом ящике осталось на 5 кг больше печенья, чем стало во втором. Сколько килограммов печенья было в каждом ящике сначала?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — начальная масса печенья в первом ящике (в кг), а $y$ — начальная масса печенья во втором ящике (в кг).

1. Составление уравнений

Из условия известно, что суммарная масса печенья в двух ящиках составляла 55 кг. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 55$

Далее, из первого ящика переложили во второй $\frac{1}{3}$ массы содержащегося в нём печенья. Количество переложенного печенья равно $\frac{1}{3}x$ кг.

После этого масса печенья в первом ящике стала:

$x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$

А масса печенья во втором ящике стала:

$y + \frac{1}{3}x$

По условию, после перекладывания в первом ящике осталось на 5 кг больше печенья, чем стало во втором. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{2}{3}x = \left(y + \frac{1}{3}x\right) + 5$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 55 \\ \frac{2}{3}x = y + \frac{1}{3}x + 5 \end{cases}$

2. Решение системы уравнений

Сначала упростим второе уравнение, перенеся член с $x$ в левую часть:

$\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x = y + 5$

$\frac{1}{3}x = y + 5$

Теперь у нас есть упрощенная система:

$\begin{cases} x + y = 55 \\ \frac{1}{3}x = y + 5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 55 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = (55 - x) + 5$

$\frac{1}{3}x = 60 - x$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$\frac{1}{3}x + x = 60$

$\frac{4}{3}x = 60$

$x = 60 \cdot \frac{3}{4}$

$x = 45$

Итак, в первом ящике изначально было 45 кг печенья.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 55 - x$:

$y = 55 - 45$

$y = 10$

Следовательно, во втором ящике изначально было 10 кг печенья.

3. Проверка

Изначально: в первом ящике 45 кг, во втором 10 кг. Всего $45 + 10 = 55$ кг. Верно.

Переложили из первого ящика: $\frac{1}{3} \cdot 45 = 15$ кг.

Осталось в первом ящике: $45 - 15 = 30$ кг.

Стало во втором ящике: $10 + 15 = 25$ кг.

Разница: $30 - 25 = 5$ кг. В первом ящике стало на 5 кг больше. Верно.

Ответ: в первом ящике изначально было 45 кг печенья, а во втором — 10 кг.