Номер 206, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 206, страница 41.

Условие.

206. Какие свойства арифметических действий дают возможность утверждать, что данные выражения являются тождественно равными:

1) $ab + cd$ и $cd + ab$;

2) $(a + 1) + b$ и $a + (1 + b)$;

3) $a \cdot 4b$ и $4ab$;

4) $(x + 2)(x + 3)$ и $(3 + x)(2 + x)$;

5) $7(a - 4)$ и $7a - 28$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $ab + cd$ и $cd + ab$

Данные выражения являются тождественно равными на основании переместительного свойства сложения. Это свойство гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В общем виде оно записывается как $x + y = y + x$. В данном случае в качестве слагаемых выступают произведения $ab$ и $cd$.

Ответ: переместительное свойство сложения.

2) $(a + 1) + b$ и $a + (1 + b)$

Тождественное равенство этих выражений следует из сочетательного свойства сложения. Это свойство позволяет группировать слагаемые в произвольном порядке, не изменяя их сумму. В общем виде оно выглядит так: $(x + y) + z = x + (y + z)$. В этом примере $x = a$, $y = 1$ и $z = b$.

Ответ: сочетательное свойство сложения.

3) $a \cdot 4b$ и $4ab$

Равенство этих выражений обеспечивается двумя свойствами умножения: сочетательным и переместительным. Сначала, используя сочетательное свойство умножения ($(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$), мы можем изменить группировку множителей: $a \cdot 4b = a \cdot (4 \cdot b) = (a \cdot 4) \cdot b$. Затем, используя переместительное свойство умножения ($x \cdot y = y \cdot x$), мы можем поменять множители $a$ и $4$ местами: $(a \cdot 4) \cdot b = (4 \cdot a) \cdot b$. Выражение $(4 \cdot a) \cdot b$ по определению записывается как $4ab$.

Ответ: сочетательное и переместительное свойства умножения.

4) $(x + 2)(x + 3)$ и $(3 + x)(2 + x)$

Здесь используется переместительное свойство как для сложения, так и для умножения. Во-первых, на основании переместительного свойства умножения, мы можем поменять местами множители (выражения в скобках): $(x + 2)(x + 3) = (x + 3)(x + 2)$. Во-вторых, на основании переместительного свойства сложения, мы можем поменять слагаемые местами внутри каждой скобки: $x + 3 = 3 + x$ и $x + 2 = 2 + x$. Совместив эти преобразования, получаем тождество: $(x + 2)(x + 3) = (x + 3)(x + 2) = (3 + x)(2 + x)$.

Ответ: переместительное свойство сложения и переместительное свойство умножения.

5) $7(a - 4)$ и $7a - 28$

Равенство этих выражений является следствием распределительного свойства умножения относительно вычитания. Это свойство позволяет раскрыть скобки, умножив число перед скобками на каждый член внутри скобок. В общем виде: $x(y - z) = xy - xz$. Применяя это свойство, получаем: $7(a - 4) = 7 \cdot a - 7 \cdot 4 = 7a - 28$.

Ответ: распределительное свойство умножения относительно вычитания.