Номер 4, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 5. Тождественно равные выражения. Тождества. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 4, страница 41.

Условие.

4. Какие тождественные преобразования выражений вы знаете?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Тождественное преобразование выражения — это замена одного выражения другим, тождественно равным ему. То есть таким, которое имеет то же самое значение при любых допустимых значениях переменных. В основе всех тождественных преобразований лежат основные свойства действий над числами и выражениями.

Основные свойства действий (законы арифметики)

Эти свойства являются фундаментом для всех остальных преобразований:

• Переместительный (коммутативный) закон: $a+b=b+a$; $a \cdot b = b \cdot a$.

• Сочетательный (ассоциативный) закон: $(a+b)+c=a+(b+c)$; $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

• Распределительный (дистрибутивный) закон: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Ответ: Основные законы арифметики (переместительный, сочетательный, распределительный) позволяют менять порядок слагаемых/множителей и раскрывать скобки, являясь основой для более сложных преобразований.

Раскрытие скобок и вынесение общего множителя за скобки

Эти преобразования напрямую следуют из распределительного свойства умножения.

• Раскрытие скобок — это замена выражения, содержащего скобки, на равное ему выражение без скобок. Например, $5(x+2y) = 5x+10y$. Если перед скобкой стоит знак "минус", то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные: $-(a-b+c) = -a+b-c$.

• Вынесение общего множителя за скобки — это обратное действие, представление выражения в виде произведения (факторизация). Например, в выражении $12a^2b - 8ab^2$ общим множителем является $4ab$. Выносим его: $12a^2b - 8ab^2 = 4ab(3a - 2b)$.

Ответ: Раскрытие скобок и вынесение общего множителя — это взаимно обратные преобразования, основанные на распределительном законе умножения.

Приведение подобных слагаемых

Подобными слагаемыми (или членами) называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Это преобразование также следует из распределительного закона: $ax + bx = (a+b)x$.
Например, в выражении $7xy - 3y^2 + 2xy + 5y^2$ подобными являются $7xy$ и $2xy$, а также $-3y^2$ и $5y^2$.
Приводим их: $(7+2)xy + (-3+5)y^2 = 9xy + 2y^2$.

Ответ: Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения путем сложения или вычитания слагаемых с одинаковой буквенной частью.

Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) — это готовые тождества, которые позволяют упрощать преобразование многочленов. Основные из них:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

• Разность квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

• Сумма кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

• Разность кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Эти формулы используются как для раскрытия скобок (слева направо), так и для разложения на множители (справа налево). Например, разложить на множители $9x^2 - 16y^2$ можно по формуле разности квадратов: $9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2 = (3x-4y)(3x+4y)$.

Ответ: Формулы сокращенного умножения — это тождества для быстрого возведения в степень сумм и разностей, а также для разложения многочленов на множители.

Преобразования алгебраических дробей

К тождественным преобразованиям дробных выражений относятся:

• Сокращение дробей. Основано на основном свойстве дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение. $\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$, где $B \neq 0$ и $C \neq 0$.
  Пример: $\frac{x^2-4}{x^2+2x} = \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{x-2}{x}$ при $x \neq -2$ и $x \neq 0$.

• Приведение дробей к общему знаменателю. Это преобразование, обратное сокращению, необходимое для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Например, для дробей $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$ общим знаменателем будет $ab$. Тогда $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b+a}{ab}$.

• Сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Эти операции выполняются по правилам, аналогичным правилам для числовых дробей.
  Сложение/вычитание: $\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$.
  Умножение: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$.
  Деление: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$.

Ответ: Преобразования алгебраических дробей (сокращение, приведение к общему знаменателю, арифметические действия) выполняются по тем же правилам, что и для обыкновенных числовых дробей.

Методы разложения на множители

Помимо вынесения общего множителя и использования ФСУ, существуют и другие методы:

• Группировка слагаемых. Этот метод заключается в объединении слагаемых в группы таким образом, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всего выражения. Например: $ax+ay+bx+by = (ax+ay) + (bx+by) = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.

• Выделение полного квадрата. Преобразование квадратного трехчлена к виду $a(x-m)^2+n$. Это полезно для решения уравнений и разложения на множители. Например: $x^2+6x+5 = (x^2+6x+9)-9+5 = (x+3)^2-4$. Далее можно применить формулу разности квадратов: $((x+3)-2)((x+3)+2) = (x+1)(x+5)$.

Ответ: Группировка и выделение полного квадрата являются мощными методами разложения многочленов на множители, которые применяются, когда другие способы не работают.