Номер 255, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 255, страница 49.

Условие.

255. Представьте число:

1) 10 000;

2) -32;

3) 0,125;

4) -0,00001;

5) $-\frac{8}{343}$

в виде степени с показателем, большим 1, и наименьшим по модулю основанием.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить число $10\,000$ в виде степени $a^n$, где показатель $n > 1$ и основание $a$ имеет наименьший возможный модуль, необходимо найти наибольший возможный показатель степени $n$. Разложим $10\,000$ на простые множители: $10\,000 = 10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$. Наибольший общий делитель показателей степеней простых множителей (в данном случае оба равны 4) равен 4. Следовательно, наибольший возможный показатель степени $n=4$. При $n=4$ основание $a$ будет равно $\sqrt[4]{10\,000} = 10$. Таким образом, получаем представление $10^4$. Для сравнения, можно было бы взять $n=2$, тогда $10\,000=100^2$, но основание $100$ больше по модулю, чем $10$. Наименьшее по модулю основание достигается при наибольшем показателе.
Ответ: $10^4$.

2) Число $-32$ отрицательное, поэтому для представления его в виде степени $a^n$ основание $a$ должно быть отрицательным, а показатель $n$ — нечетным. Разложим модуль числа на множители: $32 = 2^5$. Так как показатель $5$ является нечетным, мы можем записать: $-32 = -(2^5) = (-2)^5$. Здесь основание $a = -2$, а показатель $n=5$. Условие $n > 1$ выполняется. Поскольку показатель 5 является простым числом, невозможно найти больший целый показатель, а значит, и основание с меньшим модулем. Модуль основания равен $|-2|=2$.
Ответ: $(-2)^5$.

3) Представим десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Теперь представим числитель и знаменатель в виде степеней: $1 = 1^3$ и $8 = 2^3$. Таким образом, $\frac{1}{8} = \frac{1^3}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$. Это можно записать в виде десятичной дроби как $(0,5)^3$. Здесь основание $a=0,5$, а показатель $n=3$. Условие $n > 1$ выполнено. Показатель 3 — простое число, поэтому это единственное возможное представление с целым показателем больше 1, что гарантирует наименьший по модулю основание.
Ответ: $(0,5)^3$.

4) Представим десятичную дробь $-0,00001$ в виде обыкновенной: $-0,00001 = -\frac{1}{100\,000} = -\frac{1}{10^5}$. Так как число отрицательное, основание степени должно быть отрицательным, а показатель — нечетным. Показатель $5$ является нечетным, поэтому мы можем записать: $-\frac{1}{10^5} = -(\frac{1}{10})^5 = (-\frac{1}{10})^5$. В виде десятичной дроби это $(-0,1)^5$. Здесь основание $a=-0,1$, показатель $n=5$. Условие $n > 1$ выполнено. Показатель 5 — простое число, что означает, что основание с модулем $|-0,1|=0,1$ является наименьшим по модулю.
Ответ: $(-0,1)^5$.

5) Число $-\frac{8}{343}$ является отрицательной дробью. Для представления в виде степени $a^n$ основание $a$ должно быть отрицательным, а показатель $n$ — нечетным. Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $8 = 2^3$ и $343 = 7^3$. Тогда дробь можно записать как $-\frac{2^3}{7^3} = -(\frac{2}{7})^3$. Поскольку показатель $3$ нечетный, мы можем внести знак минуса в основание: $(-\frac{2}{7})^3$. Здесь основание $a = -\frac{2}{7}$, а показатель $n=3$. Условие $n > 1$ выполнено. Показатель 3 — простое число, поэтому основание $a = -\frac{2}{7}$ является наименьшим по модулю.
Ответ: $(-\frac{2}{7})^3$.