Номер 401, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Многочлены. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 401, страница 72.

Условие.

401. Вокруг звезды вращается несколько планет, расстояния между которыми не изменяются и являются попарно разными. На каждой планете находится один астроном, который изучает ближайшую планету. Докажите, что существуют две планеты, на которых астрономы изучают друг друга.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства воспользуемся методом от противного, а точнее, принципом крайнего. Пусть в системе есть $n$ планет, где $n \ge 2$. Обозначим планеты как $P_1, P_2, \ldots, P_n$. Расстояние между любыми двумя планетами $P_i$ и $P_j$ обозначим как $d(P_i, P_j)$.

Согласно условию задачи, все расстояния между парами планет являются постоянными и попарно различными. Это означает, что если мы возьмем две разные пары планет, например $\{P_i, P_j\}$ и $\{P_k, P_l\}$, то $d(P_i, P_j) \neq d(P_k, P_l)$. Важным следствием этого является то, что для любой планеты ближайшая к ней планета определяется однозначно.

Рассмотрим множество всех возможных попарных расстояний между планетами: $\{d(P_i, P_j) \mid 1 \le i < j \le n\}$. Это конечное множество положительных чисел. В любом конечном множестве чисел всегда есть наименьший элемент.

Пусть $d_{min}$ — это наименьшее расстояние из всех попарных расстояний в этой планетной системе. Поскольку все расстояния различны, существует ровно одна пара планет, расстояние между которыми равно $d_{min}$. Назовем эти две планеты $A$ и $B$. Таким образом, $d(A, B) = d_{min}$.

Теперь рассмотрим астронома на планете $A$. Он изучает ближайшую к $A$ планету. Чтобы определить, какую планету он изучает, нужно сравнить расстояние от $A$ до всех других планет. Расстояние от $A$ до $B$ равно $d(A, B) = d_{min}$. Рассмотрим любую другую планету $C$ (то есть $C \ne A$ и $C \ne B$). Расстояние $d(A, C)$ также является одним из попарных расстояний в системе. По определению $d_{min}$ как наименьшего расстояния, мы знаем, что $d(A, C) \ge d(A, B)$. Но так как все расстояния попарно различны, и пара $\{A, C\}$ отличается от пары $\{A, B\}$, то равенство невозможно. Следовательно, $d(A, C) > d(A, B)$. Это справедливо для любой планеты $C$, отличной от $B$. Таким образом, $B$ является единственной ближайшей планетой к $A$, и астроном на планете $A$ изучает планету $B$.

Проведем аналогичные рассуждения для астронома на планете $B$. Он изучает ближайшую к $B$ планету. Расстояние от $B$ до $A$ равно $d(B, A) = d(A, B) = d_{min}$. Для любой другой планеты $D$ (то есть $D \ne B$ и $D \ne A$), расстояние $d(B, D)$ по определению $d_{min}$ не может быть меньше этого значения: $d(B, D) \ge d_{min}$. Опять же, из-за уникальности всех попарных расстояний, $d(B, D) \ne d(B, A)$, а значит, $d(B, D) > d(B, A)$. Это означает, что $A$ является единственной ближайшей планетой к $B$. Следовательно, астроном на планете $B$ изучает планету $A$.

Мы нашли две планеты, $A$ и $B$, для которых астроном с $A$ изучает $B$, а астроном с $B$ изучает $A$. Они изучают друг друга, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Пара планет, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга во всей системе, будет взаимно изучать друг друга.