Номер 457, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 457, страница 79.

Условие.

457. Саша и Вася записывают 30-значное число, используя только цифры 1; 2; 3; 4; 5. Первую цифру пишет Саша, вторую – Вася и т. д. Вася хочет получить число, кратное 9. Сможет ли Саша ему помешать?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы число было кратно 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр была кратна 9. В данной задаче Саша и Вася поочередно записывают 30-значное число. Саша ходит первым и делает ходы на нечетных позициях (1-й, 3-й, ..., 29-й), а Вася — на четных (2-й, 4-й, ..., 30-й). Всего каждый из них сделает по 15 ходов. Цель Васи — сделать так, чтобы сумма всех 30 цифр делилась на 9. Цель Саши — помешать этому.

Рассмотрим выигрышную стратегию для Васи. Поскольку ходы чередуются, Вася может реагировать на каждый ход Саши. Все 30 ходов можно разбить на 15 пар: (1-й ход Саши, 1-й ход Васи), (2-й ход Саши, 2-й ход Васи), и так далее. Пусть на своем $k$-м ходу Саша записывает цифру $s_k$, а Вася на своем $k$-м ходу записывает цифру $v_k$.

Стратегия Васи состоит в том, чтобы сумма цифр в каждой паре $(s_k, v_k)$ была постоянной и равной 6. Когда Саша на своем $k$-м ходу выбирает некоторую цифру $s_k$ из набора $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, Вася в ответ выбирает цифру $v_k$ по правилу $v_k = 6 - s_k$. Проверим, всегда ли такой ход возможен для Васи:

• Если Саша пишет 1, Вася пишет $6 - 1 = 5$.
• Если Саша пишет 2, Вася пишет $6 - 2 = 4$.
• Если Саша пишет 3, Вася пишет $6 - 3 = 3$.
• Если Саша пишет 4, Вася пишет $6 - 4 = 2$.
• Если Саша пишет 5, Вася пишет $6 - 5 = 1$.
Во всех случаях ответная цифра Васи находится в допустимом множестве $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Это означает, что Вася может придерживаться этой стратегии на протяжении всей игры, независимо от ходов Саши.

Если Вася будет следовать этой стратегии, то сумма цифр в каждой из 15 пар ходов будет равна 6. Тогда общая сумма $S$ всех 30 цифр итогового числа составит $S = 15 \times 6 = 90$.

Так как сумма цифр числа равна 90, а $90$ делится на 9 ($90 = 9 \times 10$), то и само 30-значное число будет делиться на 9. Поскольку Вася может гарантированно обеспечить этот результат, Саша не сможет ему помешать.

Ответ: нет, не сможет.