Номер 447, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 447, страница 78.

Условие.

447. Докажите, что не существует таких значений $x$ и $y$, при которых многочлены $5x^2 - 6xy - 7y^2$ и $-3x^2 + 6xy + 8y^2$ одновременно принимали бы отрицательные значения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что существуют такие значения x и y, при которых оба данных многочлена одновременно принимают отрицательные значения. Это означает, что одновременно выполняются два неравенства:

1) $5x^2 - 6xy - 7y^2 < 0$

2) $-3x^2 + 6xy + 8y^2 < 0$

Поскольку оба выражения по нашему предположению отрицательны, их сумма также должна быть отрицательной. Сложим левые части этих неравенств:

$(5x^2 - 6xy - 7y^2) + (-3x^2 + 6xy + 8y^2) < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$5x^2 - 3x^2 - 6xy + 6xy - 7y^2 + 8y^2 < 0$

В результате упрощения получаем:

$2x^2 + y^2 < 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство. Для любых действительных чисел x и y выполняются следующие условия:

• $x^2 \ge 0$, следовательно, $2x^2 \ge 0$.
• $y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($2x^2$ и $y^2$) также всегда является неотрицательным числом. То есть, для любых значений x и y должно выполняться неравенство:

$2x^2 + y^2 \ge 0$

Мы получили противоречие. Из нашего первоначального предположения следует, что $2x^2 + y^2 < 0$, но из свойств действительных чисел следует, что $2x^2 + y^2 \ge 0$. Одно и то же выражение не может быть одновременно и строго отрицательным, и неотрицательным.

Следовательно, наше исходное предположение неверно, и не существует таких значений x и y, при которых оба многочлена одновременно были бы отрицательными.

Ответ: Что и требовалось доказать.