Номер 428, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 428, страница 76.

Условие.

428. Докажите, что значение выражения $(9 - 18n) - (6n - 7)$ кратно 8 при любом натуральном значении $n$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что значение выражения $(9 - 18n) - (6n - 7)$ кратно 8 при любом натуральном значении $n$, необходимо упростить это выражение.

Сначала раскроем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки слагаемых внутри неё меняются на противоположные:

$(9 - 18n) - (6n - 7) = 9 - 18n - 6n + 7$

Далее приведем подобные слагаемые. Сгруппируем и сложим отдельно числа и отдельно слагаемые, содержащие переменную $n$:

$(9 + 7) + (-18n - 6n) = 16 - 24n$

Теперь мы имеем упрощенное выражение $16 - 24n$. Чтобы показать, что оно кратно 8, вынесем общий множитель за скобки. Наибольший общий делитель для чисел 16 и 24 равен 8.

$16 - 24n = 8 \cdot 2 - 8 \cdot 3n = 8(2 - 3n)$

Полученное выражение $8(2 - 3n)$ представляет собой произведение числа 8 и выражения $(2 - 3n)$. По условию задачи, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Следовательно, выражение $(2 - 3n)$ при любом натуральном $n$ всегда будет целым числом. Поскольку один из множителей равен 8, а второй является целым числом, то их произведение всегда будет делиться на 8 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 8 при любом натуральном $n$.

Ответ: значение выражения $(9 - 18n) - (6n - 7)$ после упрощения равно $8(2 - 3n)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(2 - 3n)$ — целое число. Произведение числа 8 на целое число всегда кратно 8, что и требовалось доказать.