Номер 430, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 430, страница 76.

Условие.

430. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n + 9) - (5 - 2n)$ при делении на 7 даёт остаток, равный 4.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать утверждение, сперва упростим данное алгебраическое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(5n + 9) - (5 - 2n)$.

Раскрываем скобки. Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$5n + 9 - 5 + 2n$

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

$(5n + 2n) + (9 - 5) = 7n + 4$

В результате упрощения мы получили выражение $7n + 4$.

Теперь нам нужно проанализировать это выражение при делении на 7. По условию, $n$ — это любое натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Выражение $7n + 4$ состоит из двух слагаемых: $7n$ и $4$.

Первое слагаемое, $7n$, представляет собой произведение числа 7 на натуральное число $n$. Следовательно, $7n$ всегда делится на 7 без остатка (нацело) при любом натуральном $n$.

Второе слагаемое — это число 4.

При делении суммы $7n + 4$ на 7, мы можем рассмотреть деление каждого слагаемого в отдельности. Деление $7n$ на 7 дает частное $n$ и остаток 0. Таким образом, остаток от деления всего выражения на 7 будет определяться только вторым слагаемым, то есть числом 4.

По определению деления с остатком, если мы делим число $A$ на число $B$, то это можно представить в виде $A = B \cdot q + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < B$.

В нашем случае, $A = 7n + 4$ и $B = 7$. Мы можем записать:

$7n + 4 = 7 \cdot n + 4$

Здесь $q = n$ (неполное частное) и $r = 4$ (остаток). Условие $0 \le 4 < 7$ выполняется.

Это доказывает, что при делении выражения $7n + 4$ на 7 остаток всегда будет равен 4, независимо от натурального значения $n$.

Ответ: Выражение $(5n + 9) - (5 - 2n)$ после упрощения равно $7n + 4$. Слагаемое $7n$ делится на 7 без остатка, следовательно, остаток от деления всего выражения на 7 равен 4, что и требовалось доказать.