Номер 432, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 432, страница 76.

Условие.

432. Докажите, что значение разности двучленов $13m + 20n$ и $7m + 2n$, где m и n – произвольные натуральные числа, делится нацело на 6.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение разности двучленов $13m + 20n$ и $7m + 2n$ делится нацело на 6, необходимо составить и упростить эту разность.

Запишем разность выражений:
$(13m + 20n) - (7m + 2n)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$13m + 20n - 7m - 2n$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с переменной $m$ и члены с переменной $n$:
$(13m - 7m) + (20n - 2n) = 6m + 18n$

В полученном выражении $6m + 18n$ можно вынести за скобки общий множитель. Общий делитель для 6 и 18 — это 6.
$6(m + 3n)$

По условию задачи, $m$ и $n$ — произвольные натуральные числа. Это означает, что $m \ge 1$ и $n \ge 1$.
Следовательно, выражение в скобках $(m + 3n)$ также является натуральным числом, так как сумма и произведение натуральных чисел всегда дают натуральное число.

Поскольку итоговое выражение представляет собой произведение числа 6 и натурального числа $(m + 3n)$, оно по определению делится на 6 нацело при любых натуральных значениях $m$ и $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность данных двучленов равна $6m + 18n = 6(m + 3n)$. Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, то и $(m + 3n)$ является натуральным числом. Следовательно, произведение $6(m + 3n)$ делится нацело на 6.