Номер 564, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 564, страница 97.

Условие.

564. Докажите, что значение выражения:

1) $25^{25} - 25^{24}$ делится нацело на 12;

2) $16^4 + 8^5 - 4^7$ делится нацело на 10;

3) $36^5 + 6^9$ делится нацело на 42;

4) $10^5 - 5^7$ делится нацело на 7.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что выражение $25^{25} - 25^{24}$ делится нацело на 12, преобразуем его, вынеся за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $25^{24}$.
$25^{25} - 25^{24} = 25^{24} \cdot 25 - 25^{24} \cdot 1 = 25^{24}(25 - 1) = 25^{24} \cdot 24$.
Поскольку число 24 делится на 12 ($24 = 2 \cdot 12$), то и все выражение $25^{24} \cdot 24$ делится на 12.
$25^{24} \cdot 24 = 25^{24} \cdot (2 \cdot 12) = 12 \cdot (2 \cdot 25^{24})$.
Так как выражение можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 12, оно делится на 12 нацело.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $16^4 + 8^5 - 4^7$ делится нацело на 10, приведем все его члены к общему основанию 2.
$16 = 2^4$, $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$16^4 + 8^5 - 4^7 = (2^4)^4 + (2^3)^5 - (2^2)^7 = 2^{16} + 2^{15} - 2^{14}$.
Вынесем за скобки общий множитель $2^{14}$:
$2^{14}(2^2 + 2^1 - 1) = 2^{14}(4 + 2 - 1) = 2^{14} \cdot 5$.
Чтобы доказать делимость на 10, представим полученное выражение в виде произведения, где один из множителей равен 10 ($10 = 2 \cdot 5$).
$2^{14} \cdot 5 = (2^{13} \cdot 2) \cdot 5 = 2^{13} \cdot (2 \cdot 5) = 2^{13} \cdot 10$.
Так как один из множителей равен 10, все выражение делится на 10 нацело.
Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что выражение $36^5 + 6^9$ делится нацело на 42, приведем его члены к общему основанию 6.
$36 = 6^2$.
$36^5 + 6^9 = (6^2)^5 + 6^9 = 6^{10} + 6^9$.
Вынесем за скобки общий множитель $6^9$:
$6^9(6^1 + 1) = 6^9(6 + 1) = 6^9 \cdot 7$.
Число 42 можно представить как $6 \cdot 7$. Преобразуем наше выражение:
$6^9 \cdot 7 = (6^8 \cdot 6) \cdot 7 = 6^8 \cdot (6 \cdot 7) = 6^8 \cdot 42$.
Так как один из множителей равен 42, все выражение делится на 42 нацело.
Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что выражение $10^5 - 5^7$ делится нацело на 7, преобразуем его, представив 10 как $2 \cdot 5$.
$10^5 - 5^7 = (2 \cdot 5)^5 - 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 - 5^7$.
Вынесем за скобки общий множитель $5^5$:
$5^5(2^5 - 5^2)$.
Вычислим значение выражения в скобках:
$2^5 - 5^2 = 32 - 25 = 7$.
Таким образом, исходное выражение равно $5^5 \cdot 7$.
Так как один из множителей равен 7, все выражение делится на 7 нацело.
Ответ: Доказано.