Номер 574, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 574, страница 98.

Условие.

574. Разложите на множители ($n$ – натуральное число):

1) $a^{n+2} - a^n;$

2) $3b^{n+2} - 2b^{n+1} + b^n;$

3) $32^n + 16^{2n+1}._

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a^{n+2} - a^n$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся свойствами степеней.
Представим член $a^{n+2}$ в виде произведения, используя свойство $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$:
$a^{n+2} = a^n \cdot a^2$.
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$a^n \cdot a^2 - a^n$.
Вынесем общий множитель $a^n$ за скобки:
$a^n(a^2 - 1)$.
Выражение в скобках, $a^2 - 1$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a-1)(a+1)$.
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:
$a^n(a-1)(a+1)$.
Ответ: $a^n(a-1)(a+1)$.

2) $3b^{n+2} - 2b^{n+1} + b^n$

Используем свойство степеней $x^{m+k} = x^m \cdot x^k$ для преобразования первых двух членов выражения:
$b^{n+2} = b^n \cdot b^2$
$b^{n+1} = b^n \cdot b^1 = b^n \cdot b$
Подставим эти представления в исходное выражение:
$3(b^n \cdot b^2) - 2(b^n \cdot b) + b^n = 3b^nb^2 - 2b^nb + b^n$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $b^n$:
$b^n(3b^2 - 2b + 1)$.
Далее проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $3b^2 - 2b + 1$. Для этого найдем его дискриминант $D = B^2 - 4AC$ для уравнения $3b^2 - 2b + 1 = 0$, где $A=3$, $B=-2$, $C=1$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и не может быть разложен на линейные множители с действительными коэффициентами.
Следовательно, выражение уже полностью разложено на множители.
Ответ: $b^n(3b^2 - 2b + 1)$.

3) $32^n + 16^{2n+1}$

Для разложения на множители приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $32$ и $16$ являются степенями числа $2$:
$32 = 2^5$
$16 = 2^4$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(2^5)^n + (2^4)^{2n+1}$.
Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:
$2^{5n} + 2^{4(2n+1)} = 2^{5n} + 2^{8n+4}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то $5n < 8n+4$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{5n}$:
$2^{5n}(1 + \frac{2^{8n+4}}{2^{5n}})$.
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^k} = x^{m-k}$, упростим выражение в скобках:
$1 + 2^{(8n+4) - 5n} = 1 + 2^{3n+4}$.
В результате получаем следующее разложение на множители:
$2^{5n}(1 + 2^{3n+4})$.
Ответ: $2^{5n}(1 + 2^{3n+4})$.