Номер 643, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 643, страница 110.

Условие.

643. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

1) $253 \cdot 259$ и $252 \cdot 260;

2) $987654^2$ и $987646 \cdot 987662.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Сравним значения выражений $258 \cdot 259$ и $252 \cdot 260$.

Для того чтобы сравнить значения выражений, не прибегая к прямым вычислениям, можно представить множители в каждом выражении относительно некоторого общего числа. Заметим, что числа во втором выражении, 252 и 260, симметричны относительно числа 256, так как $252 = 256 - 4$ и $260 = 256 + 4$.

Преобразуем второе выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$252 \cdot 260 = (256 - 4)(256 + 4) = 256^2 - 4^2 = 256^2 - 16$.

Теперь преобразуем первое выражение, представив его множители также через число 256:

$258 = 256 + 2$

$259 = 256 + 3$

Тогда произведение равно:

$258 \cdot 259 = (256 + 2)(256 + 3) = 256^2 + 3 \cdot 256 + 2 \cdot 256 + 2 \cdot 3 = 256^2 + 5 \cdot 256 + 6$.

Теперь сравним полученные результаты:

$256^2 + 5 \cdot 256 + 6$ и $256^2 - 16$.

Поскольку $5 \cdot 256 + 6$ является положительным числом, а $-16$ — отрицательным, очевидно, что к $256^2$ в первом случае прибавляется положительное число, а во втором — из него вычитается. Следовательно:

$256^2 + 5 \cdot 256 + 6 > 256^2 - 16$

Таким образом, $258 \cdot 259 > 252 \cdot 260$.

Ответ: $258 \cdot 259 > 252 \cdot 260$.

2) Сравним значения выражений $987654^2$ и $987646 \cdot 987662$.

Обозначим $a = 987654$. Тогда первое выражение равно $a^2$.

Представим множители второго выражения через $a$:

$987646 = 987654 - 8 = a - 8$

$987662 = 987654 + 8 = a + 8$

Теперь преобразуем второе выражение, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$987646 \cdot 987662 = (a - 8)(a + 8) = a^2 - 8^2 = a^2 - 64$.

Теперь нам нужно сравнить два выражения: $a^2$ и $a^2 - 64$.

Поскольку из величины $a^2$ вычитается положительное число 64, полученный результат будет меньше, чем исходная величина $a^2$.

$a^2 > a^2 - 64$

Следовательно, $987654^2 > 987646 \cdot 987662$.

Ответ: $987654^2 > 987646 \cdot 987662$.