Номер 636, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 636, страница 109.

Условие.

636. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной (переменных):

1) $(x - 9)(x + 9) - (x + 19)(x - 19);$

2) $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, его необходимо упростить. Оба произведения в выражении представляют собой формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к каждому произведению отдельно:

$(x - 9)(x + 9) = x^2 - 9^2 = x^2 - 81$

$(x + 19)(x - 19) = x^2 - 19^2 = x^2 - 361$

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(x^2 - 81) - (x^2 - 361)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки внутри нее меняются на противоположные:

$x^2 - 81 - x^2 + 361$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (361 - 81) = 0 + 280 = 280$

Результатом упрощения является число 280. Оно не содержит переменную $x$, следовательно, значение исходного выражения является константой и не зависит от значения $x$.

Ответ: 280.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, его необходимо упростить. Все три слагаемых в выражении представляют собой формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому:

$(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

$(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$

$(c - 2a)(c + 2a) = c^2 - (2a)^2 = c^2 - 4a^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(4a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - 4a^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - 4a^2$

Сгруппируем подобные члены, чтобы увидеть, как они сокращаются:

$(4a^2 - 4a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$

Результатом упрощения является число 0. Оно не содержит переменных $a, b, c$, следовательно, значение исходного выражения является константой и не зависит от значений этих переменных.

Ответ: 0.