Номер 629, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 629, страница 108.

Условие.

629. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $a(a - 2)(a + 2)$;

2) $-3(x + 3)(x - 3)$;

3) $7b^2(b + 4)(4 - b)$;

4) $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)$;

5) $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$;

6) $(c^3 - 5)(c^3 + 5)(c^6 + 25)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач будем использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

1) $a(a - 2)(a + 2)$

Сначала умножим скобки $(a - 2)(a + 2)$, используя формулу разности квадратов:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь умножим полученный результат на $a$:
$a(a^2 - 4) = a \cdot a^2 - a \cdot 4 = a^3 - 4a$.
Ответ: $a^3 - 4a$

2) $-3(x + 3)(x - 3)$

Сначала преобразуем произведение скобок $(x + 3)(x - 3)$ по формуле разности квадратов:
$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
Затем умножим полученное выражение на $-3$:
$-3(x^2 - 9) = -3 \cdot x^2 - (-3) \cdot 9 = -3x^2 + 27$.
Ответ: $-3x^2 + 27$

3) $7b^2(b + 4)(4 - b)$

Заметим, что $(b + 4)(4 - b)$ можно представить как $(4 + b)(4 - b)$. Применим формулу разности квадратов:
$(4 + b)(4 - b) = 4^2 - b^2 = 16 - b^2$.
Теперь умножим полученный результат на $7b^2$:
$7b^2(16 - b^2) = 7b^2 \cdot 16 - 7b^2 \cdot b^2 = 112b^2 - 7b^4$.
Ответ: $112b^2 - 7b^4$

4) $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)$

Применим формулу разности квадратов последовательно. Сначала для первых двух скобок:
$(c - d)(c + d) = c^2 - d^2$.
Выражение примет вид: $(c^2 - d^2)(c^2 + d^2)$.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(c^2 - d^2)(c^2 + d^2) = (c^2)^2 - (d^2)^2 = c^4 - d^4$.
Ответ: $c^4 - d^4$

5) $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала раскроем первые две скобки:
$(2a - 1)(2a + 1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$.
Теперь выражение выглядит так: $(4a^2 - 1)(4a^2 + 1)$.
И снова применяем формулу разности квадратов:
$(4a^2 - 1)(4a^2 + 1) = (4a^2)^2 - 1^2 = 16a^4 - 1$.
Ответ: $16a^4 - 1$

6) $(c^3 - 5)(c^3 + 5)(c^6 + 25)$

Применим формулу разности квадратов для первых двух множителей:
$(c^3 - 5)(c^3 + 5) = (c^3)^2 - 5^2 = c^6 - 25$.
Получаем выражение: $(c^6 - 25)(c^6 + 25)$.
Ещё раз воспользуемся формулой разности квадратов:
$(c^6 - 25)(c^6 + 25) = (c^6)^2 - 25^2 = c^{12} - 625$.
Ответ: $c^{12} - 625$