Номер 627, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 627, страница 108.

Условие.

627. Какие одночлены надо подставить вместо звездочек, чтобы выполнялось тождество:

1) $ (* - 12a)(* + *) = 9b^2 - * $

2) $ (* - 5c)(* + 5c) = 16d^2 - * $

3) $ (0.7p + *)(* - 0.7p) = \frac{1}{9}m^8 - 0.49p^2 $

4) $ (3m^2 + *)(* - *) = 9m^4 - n^6? $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Исходное тождество: $(* - 12a)(* + *) = 9b^2 - *$.

Данное выражение является формулой разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Правая часть тождества $9b^2 - *$ представляет собой разность. Первый член $9b^2$ является квадратом одночлена $3b$, так как $(3b)^2 = 9b^2$.

Следовательно, первый одночлен в скобках (первая звёздочка) равен $3b$. Тождество принимает вид: $(3b - 12a)(3b + *) = 9b^2 - *$.

Согласно формуле разности квадратов, второй член во второй скобке должен быть таким же, как второй член в первой скобке. Таким образом, вторая звёздочка — это $12a$.

Теперь левая часть выглядит так: $(3b - 12a)(3b + 12a)$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем: $(3b)^2 - (12a)^2 = 9b^2 - 144a^2$.

Сравнивая полученный результат с правой частью исходного тождества $9b^2 - *$, находим, что третья звёздочка равна $144a^2$.

Проверка: $(3b - 12a)(3b + 12a) = 9b^2 - 144a^2$. Тождество выполняется.

Ответ: первая звёздочка — $3b$, вторая — $12a$, третья — $144a^2$.

2) Исходное тождество: $(* - 5c)(* + 5c) = 16d^2 - *$.

Левая часть тождества имеет вид $(x - y)(x + y)$, где $y = 5c$, а $x$ — неизвестный одночлен (звёздочка). Это формула разности квадратов, которая раскрывается как $x^2 - y^2$.

Следовательно, левая часть равна $(*)^2 - (5c)^2 = (*)^2 - 25c^2$.

Приравниваем это к правой части: $(*)^2 - 25c^2 = 16d^2 - *$.

Отсюда видно, что $(*)^2$ в левой части должно быть равно $16d^2$ в правой. Найдём одночлен, квадрат которого равен $16d^2$: $\sqrt{16d^2} = 4d$.

Таким образом, первые две звёздочки (в скобках) равны $4d$.

Теперь тождество выглядит так: $(4d - 5c)(4d + 5c) = 16d^2 - *$.

Раскроем левую часть по формуле разности квадратов: $(4d)^2 - (5c)^2 = 16d^2 - 25c^2$.

Сравнивая с правой частью $16d^2 - *$, заключаем, что последняя звёздочка равна $25c^2$.

Проверка: $(4d - 5c)(4d + 5c) = 16d^2 - 25c^2$. Тождество выполняется.

Ответ: первая и вторая звёздочки — $4d$, третья — $25c^2$.

3) Исходное тождество: $(0,7p + *)(* - 0,7p) = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$.

Переставим множители и слагаемые в первой скобке, чтобы левая часть соответствовала стандартному виду формулы разности квадратов: $(* - 0,7p)(* + 0,7p)$.

Это выражение равно $(*)^2 - (0,7p)^2$.

Вычислим $(0,7p)^2 = 0,7^2 \cdot p^2 = 0,49p^2$.

Тогда левая часть равна $(*)^2 - 0,49p^2$.

Приравниваем её к правой части: $(*)^2 - 0,49p^2 = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$.

Отсюда следует, что $(*)^2 = \frac{1}{9}m^8$.

Найдём одночлен, квадрат которого равен $\frac{1}{9}m^8$: $\sqrt{\frac{1}{9}m^8} = \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{m^8} = \frac{1}{3}m^4$.

Следовательно, обе звёздочки в левой части равны $\frac{1}{3}m^4$.

Проверка: $(0,7p + \frac{1}{3}m^4)(\frac{1}{3}m^4 - 0,7p) = (\frac{1}{3}m^4 + 0,7p)(\frac{1}{3}m^4 - 0,7p) = (\frac{1}{3}m^4)^2 - (0,7p)^2 = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$. Тождество выполняется.

Ответ: обе звёздочки равны $\frac{1}{3}m^4$.

4) Исходное тождество: $(3m^2 + *)(* - *) = 9m^4 - n^6$.

Правая часть тождества $9m^4 - n^6$ является разностью квадратов.

Представим её в виде $x^2 - y^2$:

$9m^4 = (3m^2)^2$

$n^6 = (n^3)^2$

Таким образом, $9m^4 - n^6 = (3m^2)^2 - (n^3)^2$.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$, получаем:

$(3m^2)^2 - (n^3)^2 = (3m^2 + n^3)(3m^2 - n^3)$.

Теперь сравним это выражение с левой частью исходного тождества: $(3m^2 + *)(* - *)$.

Сравнивая множитель $(3m^2 + n^3)$ с $(3m^2 + *)$, видим, что первая звёздочка равна $n^3$.

Сравнивая множитель $(3m^2 - n^3)$ с $(* - *)$, видим, что вторая звёздочка равна $3m^2$, а третья — $n^3$.

Проверка: $(3m^2 + n^3)(3m^2 - n^3) = (3m^2)^2 - (n^3)^2 = 9m^4 - n^6$. Тождество выполняется.

Ответ: первая звёздочка — $n^3$, вторая — $3m^2$, третья — $n^3$.