Номер 623, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 623, страница 108.

Условие.

623. Упростите выражение:

1) $(2a - b)(2a + b) + b^2;$

2) $10x^2 + (y - 5x)(y + 5x);$

3) $64m^2 - (8m + 9)(8m - 9);$

4) $(4x - 7y)(4x + 7y) + (7x - 4y)(7x + 4y);$

5) $(a - 2)(a + 3) + (6 - a)(a + 6);$

6) $3a(a - b) - (3a + 2b)(3a - 2b).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) В выражении $(2a - b)(2a + b) + b^2$ для произведения $(2a - b)(2a + b)$ применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = 2a$ и $y = b$.
Получаем: $(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(4a^2 - b^2) + b^2 = 4a^2 - b^2 + b^2$.
Взаимно уничтожаем $-b^2$ и $b^2$ и получаем конечный результат.
$4a^2 - b^2 + b^2 = 4a^2$.
Ответ: $4a^2$.

2) В выражении $10x^2 + (y - 5x)(y + 5x)$ для произведения $(y - 5x)(y + 5x)$ также используем формулу разности квадратов.
$(y - 5x)(y + 5x) = y^2 - (5x)^2 = y^2 - 25x^2$.
Подставляем полученное выражение в исходное:
$10x^2 + (y^2 - 25x^2) = 10x^2 + y^2 - 25x^2$.
Приводим подобные слагаемые $10x^2$ и $-25x^2$:
$y^2 + (10 - 25)x^2 = y^2 - 15x^2$.
Ответ: $y^2 - 15x^2$.

3) Рассмотрим выражение $64m^2 - (8m + 9)(8m - 9)$. Произведение $(8m + 9)(8m - 9)$ упрощается по формуле разности квадратов.
$(8m + 9)(8m - 9) = (8m)^2 - 9^2 = 64m^2 - 81$.
Подставим это в исходное выражение, обращая внимание на знак минус перед скобками:
$64m^2 - (64m^2 - 81)$.
Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:
$64m^2 - 64m^2 + 81$.
Взаимно уничтожаем $64m^2$ и $-64m^2$, и получаем число.
$0 + 81 = 81$.
Ответ: $81$.

4) Выражение $(4x - 7y)(4x + 7y) + (7x - 4y)(7x + 4y)$ является суммой двух произведений, каждое из которых можно упростить по формуле разности квадратов.
Упростим первую часть: $(4x - 7y)(4x + 7y) = (4x)^2 - (7y)^2 = 16x^2 - 49y^2$.
Упростим вторую часть: $(7x - 4y)(7x + 4y) = (7x)^2 - (4y)^2 = 49x^2 - 16y^2$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(16x^2 - 49y^2) + (49x^2 - 16y^2) = 16x^2 - 49y^2 + 49x^2 - 16y^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 + 49x^2) + (-49y^2 - 16y^2) = 65x^2 - 65y^2$.
Ответ: $65x^2 - 65y^2$.

5) В выражении $(a - 2)(a + 3) + (6 - a)(a + 6)$ раскроем скобки в каждом слагаемом по отдельности.
Первое слагаемое: $(a - 2)(a + 3) = a \cdot a + 3 \cdot a - 2 \cdot a - 2 \cdot 3 = a^2 + 3a - 2a - 6 = a^2 + a - 6$.
Второе слагаемое $(6 - a)(a + 6)$ можно представить как $(6 - a)(6 + a)$ и применить формулу разности квадратов: $6^2 - a^2 = 36 - a^2$.
Сложим упрощенные части:
$(a^2 + a - 6) + (36 - a^2) = a^2 + a - 6 + 36 - a^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + a + (-6 + 36) = 0 + a + 30 = a + 30$.
Ответ: $a + 30$.

6) Упростим выражение $3a(a - b) - (3a + 2b)(3a - 2b)$.
Сначала раскроем скобки в первой части, используя распределительный закон: $3a(a - b) = 3a^2 - 3ab$.
Вторая часть $(3a + 2b)(3a - 2b)$ является разностью квадратов:
$(3a + 2b)(3a - 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(3a^2 - 3ab) - (9a^2 - 4b^2)$.
Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена:
$3a^2 - 3ab - 9a^2 + 4b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(3a^2 - 9a^2) - 3ab + 4b^2 = -6a^2 - 3ab + 4b^2$.
Ответ: $-6a^2 - 3ab + 4b^2$.