Номер 624, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 624, страница 108.

Условие.

624. Упростите выражение:

1) $(9a - 2)(9a + 2) - 18a^2;$

2) $25m^2 - (5m - 7)(5m + 7);$

3) $(b + 7)(b - 4) + (2b - 6)(2b + 6);$

4) $4x(3x - 10y) - (4x + y)(4x - y).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для упрощения выражения $(9a - 2)(9a + 2) - 18a^2$ воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для произведения скобок $(9a - 2)(9a + 2)$. В данном случае $x = 9a$ и $y = 2$.
$(9a - 2)(9a + 2) = (9a)^2 - 2^2 = 81a^2 - 4$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$(81a^2 - 4) - 18a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$81a^2 - 18a^2 - 4 = 63a^2 - 4$.
Ответ: $63a^2 - 4$.

2) Рассмотрим выражение $25m^2 - (5m - 7)(5m + 7)$. Произведение $(5m - 7)(5m + 7)$ также является разностью квадратов, где $x = 5m$ и $y = 7$.
$(5m - 7)(5m + 7) = (5m)^2 - 7^2 = 25m^2 - 49$.
Подставим это в исходное выражение:
$25m^2 - (25m^2 - 49)$.
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$25m^2 - 25m^2 + 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(25 - 25)m^2 + 49 = 0 \cdot m^2 + 49 = 49$.
Ответ: $49$.

3) Упростим выражение $(b + 7)(b - 4) + (2b - 6)(2b + 6)$. Оно состоит из двух частей.
Сначала раскроем первые скобки, перемножив многочлены:
$(b + 7)(b - 4) = b \cdot b + b \cdot (-4) + 7 \cdot b + 7 \cdot (-4) = b^2 - 4b + 7b - 28 = b^2 + 3b - 28$.
Вторые скобки $(2b - 6)(2b + 6)$ представляют собой формулу разности квадратов:
$(2b - 6)(2b + 6) = (2b)^2 - 6^2 = 4b^2 - 36$.
Теперь сложим результаты:
$(b^2 + 3b - 28) + (4b^2 - 36)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$b^2 + 3b - 28 + 4b^2 - 36 = (b^2 + 4b^2) + 3b + (-28 - 36) = 5b^2 + 3b - 64$.
Ответ: $5b^2 + 3b - 64$.

4) Упростим выражение $4x(3x - 10y) - (4x + y)(4x - y)$.
Раскроем первую часть, умножив одночлен на многочлен:
$4x(3x - 10y) = 4x \cdot 3x - 4x \cdot 10y = 12x^2 - 40xy$.
Вторая часть $(4x + y)(4x - y)$ является разностью квадратов:
$(4x + y)(4x - y) = (4x)^2 - y^2 = 16x^2 - y^2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(12x^2 - 40xy) - (16x^2 - y^2)$.
Раскроем скобки, меняя знаки:
$12x^2 - 40xy - 16x^2 + y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(12x^2 - 16x^2) - 40xy + y^2 = -4x^2 - 40xy + y^2$.
Ответ: $-4x^2 - 40xy + y^2$.