Номер 628, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 628, страница 108.

Условие.

628. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:

1) $(8a^2b - *)(8a^2b + *) = * - 25c^6;$

2) $(* - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + *) = \frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)
Данное тождество представляет собой формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Левая часть исходного выражения имеет вид $(8a^2b - *) (8a^2b + *)$. Сравнивая с формулой, видим, что первое слагаемое $a$ в формуле равно $8a^2b$.
Правая часть выражения имеет вид $* - 25c^6$. Сравнивая с формулой, видим, что $b^2 = 25c^6$.
Найдем второе слагаемое $b$, извлекая квадратный корень: $b = \sqrt{25c^6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{c^6} = 5c^{6/2} = 5c^3$.
Таким образом, недостающий одночлен в скобках (на месте первой и второй звездочек) — это $5c^3$.
Теперь найдем одночлен на месте третьей звездочки в правой части. Он равен квадрату первого слагаемого из скобок: $a^2 = (8a^2b)^2 = 8^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 64a^4b^2$.
Заполняем все пропуски и получаем итоговое тождество.
Ответ: $(8a^2b - 5c^3)(8a^2b + 5c^3) = 64a^4b^2 - 25c^6$.

2)
Это тождество также является формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Рассмотрим правую часть тождества: $\frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$\frac{1}{225}a^4 = (\frac{1}{15}a^2)^2$
$\frac{1}{144}x^8y^{10} = (\frac{1}{12}x^4y^5)^2$
Таким образом, правая часть равна $(\frac{1}{15}a^2)^2 - (\frac{1}{12}x^4y^5)^2$.
Следовательно, левая часть должна быть произведением разности и суммы этих выражений: $(\frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5)$.
Сравним это с левой частью исходного выражения: $(* - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + *)$.
Из сравнения первой скобки $(\frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5)$ и $(* - \frac{1}{12}x^4y^5)$ видно, что первая звездочка — это $\frac{1}{15}a^2$.
Из сравнения второй скобки $(\frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5)$ и $(\frac{1}{15}a^2 + *)$ видно, что вторая звездочка — это $\frac{1}{12}x^4y^5$.
Заполняем пропуски.
Ответ: $(\frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5) = \frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$.